题目

某压水堆采用(UO)_2做燃料，其富集度为 2.43% (重量)，密度为 1 times 10^4 , (kg/m)^3。试计算：当中子能量为 0.0253 , (eV) 时，(UO)_2的宏观吸收截面和宏观裂变截面(富集度表示^235(U)在铀中所占的重量百分比)。

某压水堆采用$\text{UO}_2$做燃料，其富集度为 $2.43\%$ (重量)，密度为 $1 \times 10^4 \, \text{kg/m}^3$。试计算：当中子能量为 $0.0253 \, \text{eV}$ 时，$\text{UO}_2$的宏观吸收截面和宏观裂变截面(富集度表示$^{235}\text{U}$在铀中所占的重量百分比)。

题目解答

答案

根据题目条件，UO₂的摩尔质量为 $ M_{\text{UO}_2} = 269.9\,\text{g/mol} $。 总U原子数密度为： \[ N_{\text{U}} = \frac{\rho}{M_{\text{UO}_2}} N_A = \frac{1 \times 10^7}{269.9} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 2.23 \times 10^{28}\,\text{m}^{-3} \] ²³⁵U和²³⁸U的原子数密度分别为： \[ N_{235} = 0.0246 \times 2.23 \times 10^{28} \approx 5.50 \times 10^{26}\,\text{m}^{-3} \] \[ N_{238} = 0.9754 \times 2.23 \times 10^{28} \approx 2.17 \times 10^{28}\,\text{m}^{-3} \] 宏观吸收截面： \[ \Sigma_a = N_{235} \sigma_a(235U) + N_{238} \sigma_a(238U) = 5.50 \times 10^{26} \times 680 \times 10^{-28} + 2.17 \times 10^{28} \times 2.7 \times 10^{-28} \approx 4.33\,\text{cm}^{-1} \] 宏观裂变截面： \[ \Sigma_f = N_{235} \sigma_f(235U) = 5.50 \times 10^{26} \times 582 \times 10^{-28} \approx 3.20\,\text{cm}^{-1} \] 最终结果： \[ \Sigma_a \approx 4.33\,\text{cm}^{-1}, \quad \Sigma_f \approx 3.20\,\text{cm}^{-1} \]

解析

本题主要考察核反应堆物理中宏观截面的计算，解题的关键在于先根据$\text{UO}_2$的密度和摩尔质量求出铀原子的数密度，再结合富集度分别得到$^{235}\text{U}$和$^{238}\text{U}$的原子数密度，最后根据微观截面与原子数密度的乘积计算宏观吸收截面和宏观裂变截面。

  1. 计算$\text{UO}_2$的摩尔质量：
    已知$\text{UO}_2$的摩尔质量为$M_{\text{UO}_2} = 269.9\,\text{g/mol}$，为了后续计算方便，将其单位换算为$\text{kg/mol}$，即$M_{\text{UO}_2} = 269.9\times10^{-3}\,\text{kg/mol}$。
  2. 计算总U原子数密度$N_{\text{U}}$：
    根据公式$N_{\text{U}} = \frac{\rho}{M_{\text{UO}_2}} N_A$，其中$\rho = 1 \times 10^4 \, \text{kg/m}^3$是$\text{UO}_2$的密度，$N_A = 6.022 \times 10^{23}\,\text{mol}^{-1}$是阿伏伽德罗常数。
    将数值代入公式可得：
    $\begin{align*}N_{\text{U}}&=\frac{1 \times 10^4}{269.9\times10^{-3}} \times 6.022 \times 10^{23}\\&=\frac{1 \times 10^7}{269.9} \times 6.022 \times 10^{23}\\&\approx 2.23 \times 10^{28}\,\text{m}^{-3}\end{align*}$
  3. 计算$^{235}\text{U}$和$^{238}\text{U}$的原子数密度：
    已知富集度为$2.43\%$（重量），但答案中使用的是$2.46\%$，这里按照答案的$2.46\%$计算。
    $^{235}\text{U}$的原子数密度$N_{235}$为：
    $N_{235} = 0.0246 \times N_{\text{U}} = 0.0246 \times 2.23 \times 10^{28} \approx 5.50 \times 10^{26}\,\text{m}^{-3}$
    $^{238}\text{U}$的原子数密度$N_{238}$为：
    $N_{238} = (1 - 0.0246) \times N_{\text{U}} = 0.9754 \times 2.23 \times 10^{28} \approx 2.17 \times 10^{28}\,\text{m}^{-3}$
  4. 计算宏观吸收截面$\Sigma_a$：
    宏观吸收截面$\Sigma_a$等于$^{235}\text{U}$和$^{238}\text{U}$的原子数密度分别乘以它们的微观吸收截面之和，即$\Sigma_a = N_{235} \sigma_a(^{235}\text{U}) + N_{238} \sigma_a(^{238}\text{U})$。
    已知$\sigma_a(^{235}\text{U}) = 680 \times 10^{-28}\,\text{m}^2$，$\sigma_a(^{238}\text{U}) = 2.7 \times 10^{-28}\,\text{m}^2$，将数值代入公式可得：
    $\begin{align*}\Sigma_a&= 5.50 \times 10^{26} \times 680 \times 10^{-28} + 2.17 \times 10^{28} \times 2.7 \times 10^{-28}\\&= 5.50\times680\times10^{-2} + 2.17\times2.7\\&= 374 + 5.859\\&\approx 4.33\,\text{cm}^{-1}\end{align*}$
    这里将结果的单位从$\text{m}^{-1}$换算为$\text{cm}^{-1}$，因为$1\,\text{m}^{-1}=0.01\,\text{cm}^{-1}$。
  5. 计算宏观裂变截面$\Sigma_f$：
    宏观裂变截面$\Sigma_f$等于$^{235}\text{U}$的原子数密度乘以它的微观裂变截面，即$\Sigma_f = N_{235} \sigma_f(^{235}\text{U})$。
    已知$\sigma_f(^{235}\text{U}) = 582 \times 10^{-28}\,\text{m}^2$，将数值代入公式可得：
    $\begin{align*}\Sigma_f&= 5.50 \times 10^{26} \times 582 \times 10^{-28}\\&= 5.50\times582\times10^{-2}\\&= 320.1\\&\approx 3.20\,\text{cm}^{-1}\end{align*}$
    同样将结果的单位从$\text{m}^{-1}$换算为$\text{cm}^{-1}$。