2.竖直上抛一质量为m的小球,假设空气阻力FR与速度v的一次方成正比,即 _(R)=-|||--μv, 其中μ为阻力常数。选取图示坐标轴x,则小球A的运动微分方程为 () 。-|||-A. =-mg-mu x (上升阶段), overrightarrow (x)=-mg+mu x (下降阶段)-|||-B. overrightarrow (x)=-mg-mu x (上升阶段), =mg-mu x (下降阶段)-|||-C. overrightarrow (x)=-mg-mu overrightarrow (x) (上升或下降阶段)-|||-D. overrightarrow (x)=mg+mu overrightarrow (x) (上升阶段), overrightarrow (x)=mg-mu x (下降阶段)-|||-4x-|||-A-|||-0-|||-选择题2图

本题考查竖直上抛运动中受空气阻力的微分方程建立。关键点在于：

1. 正确分析受力方向：重力始终向下，空气阻力方向与速度方向相反；
2. 统一坐标系表达：无论上升还是下降阶段，阻力表达式均需用速度的代数形式表示；
3. 牛顿第二定律的应用：合外力等于质量乘以加速度，需将各力代入方程。

受力分析

• 重力：方向始终向下，大小为 $mg$，在坐标系中为 $-mg$；
• 空气阻力：大小与速度一次方成正比，方向与速度方向相反，表达式为 $F_R = -\mu v$（$v$ 为速度）。

牛顿第二定律

合外力 $F_{\text{合}} = m \ddot{x}$，代入重力和阻力：
$m \ddot{x} = -mg - \mu \dot{x}$

阶段分析

• 上升阶段：速度 $\dot{x} > 0$，阻力方向向下，方程为 $m \ddot{x} = -mg - \mu \dot{x}$；
• 下降阶段：速度 $\dot{x} < 0$，阻力方向向上，但表达式仍为 $F_R = -\mu \dot{x}$（$\dot{x}$ 为负时，$-\mu \dot{x}$ 自动变为正），方程仍为 $m \ddot{x} = -mg - \mu \dot{x}$。

结论：无论上升还是下降，微分方程形式相同，故选 C。