题目
求指导本题解题过程，谢谢您！7. 齐次线性方程组 ) (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)=0 2(x)_(1)+(x)_(2)+3(x)_(3)-4(x)_(4)=0 . 的解空间的维数是 ()-|||-(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)4
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出方程组的增广矩阵
方程组 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}=0\\ 2{x}_{1}+{x}_{2}+3{x}_{3}-4{x}_{4}=0\end{matrix} \right.$ 的增广矩阵为 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 3 & -4 & 0\end{matrix} \right]$。
步骤 2：化简增广矩阵
对增广矩阵进行行变换，化简为阶梯形矩阵。首先，用第一行的两倍减去第二行，得到 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -6 & 0\end{matrix} \right]$。然后，将第二行乘以-1，得到 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 6 & 0\end{matrix} \right]$。
步骤 3：确定解空间的维数
从阶梯形矩阵中可以看出，方程组有2个主元变量（${x}_{1}$ 和 ${x}_{2}$），2个自由变量（${x}_{3}$ 和 ${x}_{4}$）。因此，解空间的维数为自由变量的个数，即2。
方程组 $\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}=0\\ 2{x}_{1}+{x}_{2}+3{x}_{3}-4{x}_{4}=0\end{matrix} \right.$ 的增广矩阵为 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 3 & -4 & 0\end{matrix} \right]$。
步骤 2：化简增广矩阵
对增广矩阵进行行变换，化简为阶梯形矩阵。首先，用第一行的两倍减去第二行，得到 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1 & -6 & 0\end{matrix} \right]$。然后，将第二行乘以-1，得到 $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 6 & 0\end{matrix} \right]$。
步骤 3：确定解空间的维数
从阶梯形矩阵中可以看出，方程组有2个主元变量（${x}_{1}$ 和 ${x}_{2}$），2个自由变量（${x}_{3}$ 和 ${x}_{4}$）。因此，解空间的维数为自由变量的个数，即2。