(8分)有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力。

本题考查定积分在物理中的应用，具体是利用定积分计算水压力。解题的关键思路是先建立合适的坐标系，求出梯形闸门上某一深度处的宽度表达式，进而得到压力元素，最后通过定积分计算出整个闸门一侧所受的水压力。

1. 建立坐标系并求出直线方程：
   • 以较长底边的中点为原点，垂直向下为$x$轴正方向建立平面直角坐标系。
   • 已知梯形两条底边各长$10m$和$6m$，高为$20m$，那么直线$AB$过点$(0,5)$和$(20,0)$。
   • 根据直线的两点式方程$y - y_1=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$，这里$x_1 = 0$，$y_1 = 5$，$x_2 = 20$，$y_2 = 0$，可得直线$AB$的斜率$k=\frac{0 - 5}{20 - 0}=-\frac{1}{4}$。
   • 再根据直线的点斜式方程$y - y_0 = k(x - x_0)$（这里$x_0 = 0$，$y_0 = 5$），得到直线$AB$的方程为$y=-\frac{1}{4}x + 5$。
2. 确定压力元素：
   • 在深度$x$处取一厚度为$dx$的水平窄条，该窄条的面积近似为$dS = 2y(x)dx$（因为是对称的，所以宽度为$2y(x)$）。
   • 根据水压力公式$P=\rho ghS$（$\rho$为水的密度，$g$为重力加速度，$h$为深度，$S$为受力面积），这里水的密度$\rho = 1$吨$/m^3$，$g$取$9.8m/s^2$，深度为$x$，面积为$dS$，则压力元素$dP=\rho gx\cdot dS=1\times9.8\times x\cdot 2y(x)dx$。
   • 把$y = -\frac{1}{4}x + 5$代入压力元素表达式，可得$dP = 2\times9.8x(-\frac{1}{4}x + 5)dx=9.8(10x-\frac{1}{2}x^{2})dx$。
3. 计算水压力：
   • 对压力元素$dP$在区间$[0,20]$上进行定积分，可得压力$P=\int_{0}^{20}dP=\int_{0}^{20}9.8(10x-\frac{1}{2}x^{2})dx$。
   • 根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx$，则$P = 9.8\int_{0}^{20}(10x-\frac{1}{2}x^{2})dx=9.8(\int_{0}^{20}10xdx-\int_{0}^{20}\frac{1}{2}x^{2}dx)$。
   • 分别计算两个定积分：
     • 根据定积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C(n\neq - 1)$，$\int_{0}^{20}10xdx=10\times\frac{1}{2}x^{2}\big|_{0}^{20}=5x^{2}\big|_{0}^{20}=5\times(20^{2}-0^{2}) = 2000$。
     • $\int_{0}^{20}\frac{1}{2}x^{2}dx=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}x^{3}\big|_{0}^{20}=\frac{1}{6}x^{3}\big|_{0}^{20}=\frac{1}{6}\times(20^{3}-0^{3})=\frac{8000}{6}=\frac{4000}{3}$。
   • 所以$P = 9.8\times(2000-\frac{4000}{3})=9.8\times\frac{2000}{3}=\frac{19600}{3}\approx14388N$。