题目
一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米尺的长度为 0.85 , (m)，速率为 v。设 c 为真空中光速，则 (v)/(c)= ____（2位有效数字）。
一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米尺的长度为 $0.85 \, \text{m}$，速率为 $v$。设 $c$ 为真空中光速，则 $\frac{v}{c}=$ \_\_\_\_（2位有效数字）。
题目解答
答案
根据长度收缩公式 $ L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} $，将 $ L = 0.85 \, \text{m} $、$ L_0 = 1 \, \text{m} $ 代入，得：
\[
0.85 = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}
\]
平方后得：
\[
0.7225 = 1 - \frac{v^2}{c^2} \implies \frac{v^2}{c^2} = 0.2775
\]
取平方根：
\[
\frac{v}{c} = \sqrt{0.2775} \approx 0.53
\]
最终结果为：
\[
\frac{v}{c} = 0.53
\]
解析
本题考查狭义相对论中的长度收缩效应。解题思路是根据长度收缩公式，结合已知的运动米尺长度和静止米尺长度，通过一系列数学运算求出$\frac{v}{c}$的值。
- 明确长度收缩公式：在狭义相对论中，沿运动方向放置的物体长度会发生收缩，其公式为$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$，其中$L$是运动物体的长度，$L_0$是物体静止时的长度，$v$是物体的运动速率，$c$是真空中的光速。
- 代入已知条件：已知运动米尺的长度$L = 0.85 \, \text{m}$，米尺静止时的长度$L_0 = 1 \, \text{m}$，将其代入长度收缩公式可得：
- $0.85 = 1\times\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$，即$0.85 = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$。
- 求解$\frac{v^2}{c^2}$：
- 对$0.85 = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$两边同时平方，根据$(\sqrt{a})^2=a$（$a\geq0$）可得$0.85^2 = 1 - \frac{v^2}{c^2}$。
- 计算$0.85^2 = 0.7225$，则$0.7225 = 1 - \frac{v^2}{c^2}$。
- 移项可得$\frac{v^2}{c^2}=1 - 0.7225 = 0.2775$。
- 求解$\frac{v}{c}$：
- 对$\frac{v^2}{c^2}=0.2775$两边同时开平方，因为$v$和$c$均为正值，所以$\frac{v}{c}=\sqrt{0.2775}$。
- 使用计算器计算$\sqrt{0.2775}\approx0.53$。