8.设f(x)定义于(-∞,+∞)上,满足条件|f(x_(1))-f(x_(2))|leqslant N|x_(1)-x_(2)|,中N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.(提示:任取x_(0),作逐步逼近点列x_(n+1)=f(x_(n))(n=0,1,2,...),然后证明x收敛于方程的唯一解)

任取 $x_0 \in (-\infty, +\infty)$，构造序列 $x_{n+1} = f(x_n)$。由条件 $|f(x_1) - f(x_2)| \leq N|x_1 - x_2|$（$N < 1$），得
$|x_{n+1} - x_n| \leq N^n |x_1 - x_0|.$
该序列满足柯西条件，故收敛于某 $x^*$。由连续性，
$x^* = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x^*),$
即 $x^*$ 为方程解。若另有一解 $\overline{x}^*$，则
$|x^* - \overline{x}^*| = |f(x^*) - f(\overline{x}^*)| \leq N|x^* - \overline{x}^*| < |x^* - \overline{x}^*|,$
矛盾，故解唯一。

答案： 方程 $x = f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上有唯一解。