题目
六、(14分).设总体的概率密度为,而为来自总体的简单随机样本.求:(1)未知参数的矩估计和极大似然估计;(2)讨论上述估计的无偏性。
六、(14分).设总体
的概率密度为
,
而
为来自总体的简单随机样本.求:(1)未知参数
的矩估计和极大似然估计;(2)讨论上述估计的无偏性。
题目解答
答案
解:(1)参数的矩估计: 
,
所以参数的矩估计
。 4分
参数的极大似然估计:似然函数为 
求对数 
求导数,令其为零,得似然方程:
解似然方程得:
,故参数的极大似然估计为。 8分
(2)因为
,所以是的无偏估计。 2分
七(6分)设且独立,
求
。
解:(1)
,又是定义与同一个样本空间上的随机变量, 利用全概率公式: 4分
(2)
有一个间断点(
) (
) 2分
(
,)
哈工大 2009 年 概率论与数理统计 试 题
解析
步骤 1：参数的矩估计
首先，计算总体的期望值$EX$，即一阶矩。根据概率密度函数$f(x;\lambda)$，我们有：
$$
EX = \int_{0}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x}{\lambda}} dx
$$
通过分部积分法，可以得到：
$$
EX = \lambda
$$
因此，参数$\lambda$的矩估计为样本均值$\overline{X}$，即$\hat{\lambda}_{矩} = \overline{X}$。
步骤 2：参数的极大似然估计
极大似然估计是通过最大化似然函数$L(\lambda)$来求解的。似然函数$L(\lambda)$为：
$$
L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x_i}{\lambda}}
$$
取对数似然函数$\ln L(\lambda)$，并求导数，令其为零，得到似然方程：
$$
\ln L(\lambda) = -n \ln \lambda - \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^{n} x_i
$$
$$
\frac{d \ln L(\lambda)}{d \lambda} = -\frac{n}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{n} x_i = 0
$$
解似然方程，得到极大似然估计$\hat{\lambda}_{极大} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \overline{X}$。
步骤 3：讨论估计的无偏性
为了讨论估计的无偏性，我们需要计算估计量的期望值。对于矩估计$\hat{\lambda}_{矩} = \overline{X}$，其期望值为：
$$
E(\hat{\lambda}_{矩}) = E(\overline{X}) = EX = \lambda
$$
因此，矩估计$\hat{\lambda}_{矩}$是无偏的。对于极大似然估计$\hat{\lambda}_{极大} = \overline{X}$，其期望值同样为：
$$
E(\hat{\lambda}_{极大}) = E(\overline{X}) = EX = \lambda
$$
因此，极大似然估计$\hat{\lambda}_{极大}$也是无偏的。
首先，计算总体的期望值$EX$，即一阶矩。根据概率密度函数$f(x;\lambda)$，我们有：
$$
EX = \int_{0}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x}{\lambda}} dx
$$
通过分部积分法，可以得到：
$$
EX = \lambda
$$
因此，参数$\lambda$的矩估计为样本均值$\overline{X}$，即$\hat{\lambda}_{矩} = \overline{X}$。
步骤 2：参数的极大似然估计
极大似然估计是通过最大化似然函数$L(\lambda)$来求解的。似然函数$L(\lambda)$为：
$$
L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x_i}{\lambda}}
$$
取对数似然函数$\ln L(\lambda)$，并求导数，令其为零，得到似然方程：
$$
\ln L(\lambda) = -n \ln \lambda - \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^{n} x_i
$$
$$
\frac{d \ln L(\lambda)}{d \lambda} = -\frac{n}{\lambda} + \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{n} x_i = 0
$$
解似然方程，得到极大似然估计$\hat{\lambda}_{极大} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \overline{X}$。
步骤 3：讨论估计的无偏性
为了讨论估计的无偏性，我们需要计算估计量的期望值。对于矩估计$\hat{\lambda}_{矩} = \overline{X}$，其期望值为：
$$
E(\hat{\lambda}_{矩}) = E(\overline{X}) = EX = \lambda
$$
因此，矩估计$\hat{\lambda}_{矩}$是无偏的。对于极大似然估计$\hat{\lambda}_{极大} = \overline{X}$，其期望值同样为：
$$
E(\hat{\lambda}_{极大}) = E(\overline{X}) = EX = \lambda
$$
因此，极大似然估计$\hat{\lambda}_{极大}$也是无偏的。