11.已知一个在xoy平面内运动的物体的速度为vec(v)=2vec(i)-8vec(j)，已知t=0时它通过(3，-7)位置则该物体任意时刻的位置矢量为______.

考查要点：本题主要考查速度矢量的积分求位置矢量，以及利用初始条件确定积分常数的能力。

解题核心思路：

1. 速度矢量对时间积分得到位置矢量，注意积分时需引入积分常数。
2. 代入初始条件（t=0时的位置）确定积分常数，从而得到完整的表达式。

破题关键点：

• 正确识别速度矢量的表达式（注意是否存在时间变量t）。
• 积分时区分i、j分量，分别积分并添加常数。
• 代入初始条件时，需将t=0代入积分结果，解出常数。

已知速度矢量为 $\vec{v} = 2\vec{i} - 8t\vec{j}$，需通过积分求位置矢量 $\vec{r}$。

步骤1：对速度矢量积分

对 $\vec{v}$ 的i分量和j分量分别积分：

• i分量：$\int 2 \, dt = 2t + C_1$
• j分量：$\int (-8t) \, dt = -4t^2 + C_2$

因此，积分结果为：
$\vec{r} = (2t + C_1)\vec{i} + (-4t^2 + C_2)\vec{j}$

步骤2：代入初始条件

当 $t=0$ 时，$\vec{r} = 3\vec{i} - 7\vec{j}$，代入积分结果：

• i分量：$2(0) + C_1 = 3 \Rightarrow C_1 = 3$
• j分量：$-4(0)^2 + C_2 = -7 \Rightarrow C_2 = -7$

步骤3：写出最终表达式

将常数代入，得到任意时刻的位置矢量：
$\vec{r} = (2t + 3)\vec{i} - (4t^2 + 7)\vec{j}$