设一维单原子链的晶格振动的色散关系为 omega^2 = (2beta)/(m)(1 - cos qa)，当 q = (pi)/(a) 时，omega^2 = ( ).A. (beta)/(2m)B. (beta)/(m)C. (2beta)/(m)D. (4beta)/(m)

本题考查一维单原子链晶格振动色散关系的应用，解题思路是将给定的波矢 $q$ 的值代入色散关系公式，然后根据三角函数的性质进行计算。

1. 已知一维单原子链的晶格振动的色散关系为 $\omega^2 = \frac{2\beta}{m}(1 - \cos qa)$。
2. 题目中给定 $q = \frac{\pi}{a}$，将其代入到色散关系公式中，得到：
   • $\omega^2=\frac{2\beta}{m}\left(1 - \cos\left(\frac{\pi}{a}\times a\right)\right)$。
3. 先计算括号内的三角函数部分：
   • 因为 $\frac{\pi}{a}\times a=\pi$，所以 $\cos\left(\frac{\pi}{a}\times a\right)=\cos\pi$。
   • 根据三角函数特殊值可知，$\cos\pi=-1$。
4. 再将 $\cos\pi = - 1$ 代入到 $\omega^2$ 的表达式中：
   • $\omega^2=\frac{2\beta}{m}(1-(-1))$。
   • 先计算括号内的值：$1-(-1)=1 + 1=2$。
   • 则 $\omega^2=\frac{2\beta}{m}\times2=\frac{4\beta}{m}$。