设一无限均匀介质内均匀地产生 S_0 个能量为 E_0 的快中子，该介质的宏观散射截面为一常数 Sigma_s。设这些中子在慢化至 E_1 能量前没有被吸收，E_1 << alpha E_0，而在 [E_1, E_2] 区间内有一强的共振峰，假设慢化到该区间的中子都被吸收，介质的平均对数能降为 xi。（1）若 alpha E_1 < E_2 < E_1，试计算中子的逃脱共振俘获概率。（2）设 E_2 < alpha E_1，则逃脱共振俘获概率又是多少？

本题主要考察中子在介质中慢化过程中的逃脱共振俘获概率的计算，解题的关键在于利用中子慢化过程的物理模型和概率理论，结合给定的条件逐步推导逃脱共振俘获概率的表达式。

（1）当 $\alpha E_1 < E_2 < E_1$ 时

• 中子慢化过程分析：
  • 中子在慢化过程中，每次散射平均对数能降为 $\xi$。设中子从能量 $E$ 慢化到能量 $\alpha E$ 所需的平均散射次数为 $n$，根据平均对数能降的定义，有 $\xi = \frac{\ln E - \ln(\alpha E)}{n}$，即 $n = \frac{\ln E - \ln(\alpha E)}{\xi}=\frac{\ln(1/\alpha)}{\xi}$。
  • 中子从能量 $E_1$ 慢化到能量 $E_2$ 所需的平均散射次数 $N$ 为：$N=\frac{\ln E_1 - \ln E_2}{\xi}$。
• 计算吸收概率：
  • 设宏观吸收截面为 $\Sigma_a$，宏观散射截面为 $\Sigma_s$。在每次散射中，中子被吸收的概率为 $P_{abs\_single}=\frac{\Sigma_a}{\Sigma_a + \Sigma_s}$，由于 $\Sigma_s$ 为常数且在慢化至 $E_1$ 能量前没有被吸收，在 $[E_1, E_2]$ 区间内有强共振峰，慢化到该区间的中子都被吸收，可近似认为每次散射的吸收概率为 $\frac{\Sigma_a}{\Sigma_s}$。
  • 中子在 $N$ 次散射中都不被吸收的概率服从几何分布，那么中子在 $[E_1, E_2]$ 区间内被吸收的概率 $P_{abs}$ 为：
    $\begin{align*}P_{abs}&=1 - e^{-N\cdot\frac{\Sigma_a}{\Sigma_s}}\\&=1 - e^{-\frac{\Sigma_a}{\Sigma_s}\cdot\frac{\ln E_1 - \ln E_2}{\xi}}\\&=1 - e^{-\frac{\Sigma_a}{\Sigma_s}\cdot\frac{\ln(E_1/E_2)}{\xi}}\end{align*}$
• 计算逃脱概率：
  • 逃脱共振俘获概率 $p$ 是中子在 $[E_1, E_2]$ 区间内不被吸收的概率，即 $p = 1 - P_{abs}$，所以 $p = e^{-\frac{\Sigma_a}{\Sigma_s}\cdot\frac{\ln(E_1/E_2)}{\xi}}$。

（2）当 $E_2 < \alpha E_1$ 时

• 分析原理：
  • 虽然 $E_2 < \alpha E_1$，但在计算逃脱共振俘获概率时，仍然是考虑中子从 $E_1$ 慢化到 $E_2$ 过程中不被吸收的概率。
  • 同样根据上述中子慢化过程中平均散射次数的计算方法，从 $E_1$ 慢化到 $E_2$ 所需的平均散射次数依然是 $N=\frac{\ln E_1 - \ln E_2}{\xi}$。
• 计算逃脱概率：
  • 按照与（1）中相同的概率计算方法，逃脱共振俘获概率 $p$ 为：$p = e^{-\frac{\Sigma_a}{\Sigma_s}\cdot\frac{\ln(E_1/E_2)}{\xi}}$。