题目
设C为正向圆周|z-1|=1,则|z-1|=1=(A)1(B)2π (C)0(D)1
设C为正向圆周
,则
=
(A)1
(B)2π
(C)0
(D)1
题目解答
答案
根据复变函数的积分公式
，其中C为正向圆周，
为f(z)在
处的留数。
对于
，它在z=-1处有一个二阶极点。
根据留数的计算规则，若为f(z)的二阶极点，则
因此，我们可以计算出：
可以得到：
所以，答案是 C.
解析
步骤 1：确定积分路径和被积函数
给定的积分路径是正向圆周|z-1|=1，被积函数是$\dfrac {1}{{(z+1)}^{2}}$。
步骤 2：应用复变函数积分公式
根据复变函数的积分公式${\int }_{C}f(z)dz=2\pi iRes[f(z),{z}_{0}]$，其中C为正向圆周，$Res[f(z),{z}_{0}]$为f(z)在${z}_{0}$处的留数。
步骤 3：计算留数
对于$\dfrac {1}{{(z+1)}^{2}}$，它在z=-1处有一个二阶极点。根据留数的计算规则，若为f(z)的二阶极点，则$Res[f(z),{z}_{0}]=\lim _{z\rightarrow {z}_{0}}\dfrac {d}{dz}[{(z-{z}_{0})}^{2}f(z)]$。因此，我们可以计算出：
$Res[\dfrac {1}{{(z+1)}^{2}},-1]=\lim _{z\rightarrow -1}\dfrac {d}{dz}[{(z+1)}^{2}\cdot \dfrac {1}{{(z+1)}^{2}}]=\lim _{z\rightarrow -1}\dfrac {d}{dz}1=0$。
步骤 4：计算积分值
根据留数定理，可以得到：
${\int }_{C}\dfrac {1}{{(z+1)}^{2}}dz=2\pi iRes[\dfrac {1}{{(z+1)}^{2}},-1]=2\pi i\times 0=0$。
给定的积分路径是正向圆周|z-1|=1，被积函数是$\dfrac {1}{{(z+1)}^{2}}$。
步骤 2：应用复变函数积分公式
根据复变函数的积分公式${\int }_{C}f(z)dz=2\pi iRes[f(z),{z}_{0}]$，其中C为正向圆周，$Res[f(z),{z}_{0}]$为f(z)在${z}_{0}$处的留数。
步骤 3：计算留数
对于$\dfrac {1}{{(z+1)}^{2}}$，它在z=-1处有一个二阶极点。根据留数的计算规则，若为f(z)的二阶极点，则$Res[f(z),{z}_{0}]=\lim _{z\rightarrow {z}_{0}}\dfrac {d}{dz}[{(z-{z}_{0})}^{2}f(z)]$。因此，我们可以计算出：
$Res[\dfrac {1}{{(z+1)}^{2}},-1]=\lim _{z\rightarrow -1}\dfrac {d}{dz}[{(z+1)}^{2}\cdot \dfrac {1}{{(z+1)}^{2}}]=\lim _{z\rightarrow -1}\dfrac {d}{dz}1=0$。
步骤 4：计算积分值
根据留数定理，可以得到：
${\int }_{C}\dfrac {1}{{(z+1)}^{2}}dz=2\pi iRes[\dfrac {1}{{(z+1)}^{2}},-1]=2\pi i\times 0=0$。