题目

有三个薄透镜，其焦距分别为f_(1)^prime=100(mm)，f_(2)=50(mm)，f_(3)^prime=-50(mm)，其间隔d_(1)=10(mm)，d_(2)=10(mm)，求组合系统的基点位置。

有三个薄透镜，其焦距分别为$f_{1}^{\prime}=100\text{mm}$，$f_{2}=50\text{mm}$，$f_{3}^{\prime}=-50\text{mm}$，其间隔$d_{1}=10\text{mm}$，$d_{2}=10\text{mm}$，求组合系统的基点位置。

题目解答

答案

根据正切法，逐级计算得： \[ \tan u_1' = 1, \quad h_2 = 90 \, \text{mm}, \quad \tan u_2' = 2.8, \quad h_3 = 62 \, \text{mm}, \quad \tan u_3' = 1.56 \] 系统焦距为： \[ f' = \frac{h_1}{\tan u_3'} = \frac{100}{1.56} \approx 64.1026 \, \text{mm} \] 焦点位置： \[ L_F' = \frac{h_3}{\tan u_3'} = \frac{62}{1.56} \approx 39.7436 \, \text{mm} \] 主点位置： \[ L_H' = L_F' - f' = 39.7436 - 64.1026 = -24.359 \, \text{mm} \, (\text{相对于第三个透镜}) \] 即 $L_H' = -4.359 \, \text{mm} \, (\text{相对于第一个透镜})$。 转轴应安装在主点 $H'$ 处，即第一个透镜左侧约 $4.359 \, \text{mm}$ 处。 最终结果： - 焦距 $f' \approx 64.10 \, \text{mm}$。 - 主点 $H'$ 位于第一个透镜左侧 $4.36 \, \text{mm}$ 处。 - 焦点 $F'$ 位于第三个透镜右侧 $39.74 \, \text{mm}$ 处。 - 转轴应装在 $H'$ 处。

解析

本题考查薄透镜组合系统基点位置的计算，解题思路是利用正切法逐级计算光线在各透镜间的高度和角度，进而求出系统的焦距、焦点位置和主点位置。具体步骤如下：

  1. 确定初始条件：
    • 已知第一个透镜的焦距$f_{1}^{\prime}=100\text{mm}$，为方便计算，假设光线以高度$h_1 = 100\text{mm}$入射到第一个透镜，且入射角$\tan u_1 = 1$。
  2. 计算光线通过第一个透镜后的情况：
    • 根据薄透镜成像公式$\frac{1}{s'}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f'}$，对于平行光入射$s = \infty$，则$s_1'=f_{1}^{\prime}=100\text{mm}$。
    • 光线在第一个透镜和第二个透镜之间的高度$h_2=h_1 - d_1=100 - 10 = 90\text{mm}$。
    • 由$\tan u_1'=\frac{h_1}{s_1'}$，可得$\tan u_1'=\frac{100}{100}=1$。
  3. 计算光线通过第二个透镜后的情况：
    • 对于第二个透镜，$s_2$为光线从第一个透镜像方焦点到第二个透镜的距离，$s_2 = s_1'-d_1=100 - 10 = 90\text{mm}$，$f_{2}=50\text{mm}$。
    • 根据薄透镜成像公式$\frac{1}{s_2'}-\frac{1}{s_2}=\frac{1}{f_{2}}$，即$\frac{1}{s_2'}=\frac{1}{50}+\frac{1}{90}=\frac{9 + 5}{450}=\frac{14}{450}$，解得$s_2'=\frac{450}{14}\approx32.14\text{mm}$。
    • 光线在第二个透镜和第三个透镜之间的高度$h_3=h_2 - d_2=90 - 10 = 62\text{mm}$。
    • 由$\tan u_2'=\frac{h_2}{s_2'}$，可得$\tan u_2'=\frac{90}{\frac{450}{14}} = 2.8$。
  4. 计算光线通过第三个透镜后的情况：
    • 对于第三个透镜，$s_3$为光线从第二个透镜像方焦点到第三个透镜的距离，$s_3 = s_2'-d_2=\frac{450}{14}-10=\frac{450 - 140}{14}=\frac{310}{14}\text{mm}$，$f_{3}^{\prime}=-50\text{mm}$。
    • 根据薄透镜成像公式$\frac{1}{s_3'}-\frac{1}{s_3}=\frac{1}{f_{3}^{\prime}}$，即$\frac{1}{s_3'}=\frac{1}{-50}+\frac{14}{310}=\frac{-31 + 70}{1550}=\frac{39}{1550}$，解得$s_3'=\frac{1550}{39}\approx39.74\text{mm}$。
    • 由$\tan u_3'=\frac{h_3}{s_3'}$，可得$\tan u_3'=\frac{62}{\frac{1550}{39}} = 1.56$。
  5. 计算系统的焦距、焦点位置和主点位置：
    • 系统焦距$f'=\frac{h_1}{\tan u_3'}=\frac{100}{1.56}\approx64.10\text{mm}$。
    • 焦点位置$L_F'=\frac{h_3}{\tan u_3'}=\frac{62}{1.56}\approx39.74\text{mm}$（相对于第三个透镜）。
    • 主点位置$L_H' = L_F' - f'=39.74 - 64.10=-24.36\text{mm}$（相对于第三个透镜）。
    • 相对于第一个透镜，$L_H'=-24.36+(d_1 + d_2)=-24.36+(10 + 10)=-4.36\text{mm}$。