题目

填空题（共18题，72.0分）17.（4.0分）设（X_(1),X_(2),...,X_(10),X_(11)）是来自于正态总体Xsim N(mu,sigma^2)的样本，bar(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^10X_(i)，S^2=(1)/(9)sum_(i=1)^10(X_(i)-bar(X))^2，则Y=(10(X_(11)-bar(X))^2)/(11S^2)服从的分布为____.（请写出分布类型和自由度）

填空题（共18题，72.0分） 17.（4.0分）设（$X_{1},X_{2},\cdots,X_{10},X_{11}$）是来自于正态总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$的样本，$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{10}X_{i}$，$S^{2}=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10}(X_{i}-\bar{X})^{2}$，则$Y=\frac{10(X_{11}-\bar{X})^{2}}{11S^{2}}$服从的分布为____.（请写出分布类型和自由度）

题目解答

答案

为了确定随机变量 $ Y = \frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11S^2} $ 的分布，我们需要分析 $ X_{11} - \bar{X} $ 和 $ S^2 $ 的分布，然后找到它们组合的分布。 1. **$ X_{11} - \bar{X} $ 的分布：** - $ X_{11} $ 是正态总体 $ N(\mu, \sigma^2) $ 的一个样本。 - $ \bar{X} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i $ 是前10个样本的样本均值，它服从 $ N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{10}\right) $。 - 差 $ X_{11} - \bar{X} $ 服从 $ N\left(0, \sigma^2 + \frac{\sigma^2}{10}\right) = N\left(0, \frac{11\sigma^2}{10}\right) $。 - 因此，$ \frac{X_{11} - \bar{X}}{\sqrt{\frac{11\sigma^2}{10}}} = \frac{X_{11} - \bar{X}}{\sigma\sqrt{\frac{11}{10}}} $ 服从标准正态分布 $ N(0, 1) $。 - 平方后，$ \left(\frac{X_{11} - \bar{X}}{\sigma\sqrt{\frac{11}{10}}}\right)^2 = \frac{(X_{11} - \bar{X})^2}{\sigma^2 \frac{11}{10}} = \frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11\sigma^2} $ 服从自由度为1的卡方分布，即 $ \chi^2(1) $。 2. **$ S^2 $ 的分布：** - $ S^2 = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2 $ 是前10个样本的样本方差。 - 量 $ \frac{9S^2}{\sigma^2} = \frac{\sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2} $ 服从自由度为9的卡方分布，即 $ \chi^2(9) $。 3. **$ Y $ 的分布：** - 我们有 $ Y = \frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11S^2} $。 - 代入 $ S^2 $ 的表达式，得到 $ Y = \frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11} \cdot \frac{9}{\sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2} = \frac{90(X_{11} - \bar{X})^2}{11 \sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2} $。 - 利用 $ \frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11\sigma^2} $ 和 $ \frac{9S^2}{\sigma^2} $ 的分布，我们得到 $ Y = \frac{\frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11\sigma^2}}{\frac{9S^2}{\sigma^2} / 9} = \frac{\chi^2(1)}{\chi^2(9) / 9} $。 - 这是自由度为1和9的F分布的定义，即 $ F(1, 9) $。 因此，$ Y $ 服从的分布为 $\boxed{F(1,9)}$。

解析

考查要点：本题主要考查正态总体下统计量的分布，涉及样本均值、样本方差的分布，以及F分布的构造。

解题核心思路：

  1. 分解变量：将分子和分母部分分别标准化，转化为卡方分布。
  2. 独立性判断：确认分子与分母对应的统计量是否独立。
  3. 组合分布：利用F分布的定义，将标准化后的卡方变量组合成F分布。

破题关键点：

  • 分子部分：$X_{11} - \bar{X}$的差服从正态分布，标准化后平方得到$\chi^2(1)$。
  • 分母部分：样本方差$S^2$与$\chi^2(9)$相关。
  • 独立性：$X_{11}$与前10个样本独立，因此分子与分母对应的统计量独立。

步骤1：分析分子部分的分布

  1. 差的分布：
    $X_{11} \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{10}\right)$，因此：
    $X_{11} - \bar{X} \sim N\left(0, \frac{11\sigma^2}{10}\right).$
  2. 标准化：
    $\frac{X_{11} - \bar{X}}{\sqrt{\frac{11\sigma^2}{10}}} \sim N(0,1),$
    平方后服从$\chi^2(1)$，即：
    $\frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11\sigma^2} \sim \chi^2(1).$

步骤2：分析分母部分的分布

  1. 样本方差的性质：
    $\frac{9S^2}{\sigma^2} = \frac{\sum_{i=1}^{10}(X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(9).$

步骤3：组合分子与分母

  1. 构造F分布：
    将分子和分母的卡方变量组合：
    $Y = \frac{\frac{10(X_{11} - \bar{X})^2}{11\sigma^2}}{\frac{9S^2}{\sigma^2} / 9} = \frac{\chi^2(1)/1}{\chi^2(9)/9} \sim F(1,9).$