2.11 三根长度均为L、线电荷密度分别为ρ11、ρ12和ρ 3的线电荷构成一个等边三角形,-|||-如图题2.11所示,设 (rho )_(11)=2(rho )_(12)=2rho 13 ,试求三角形中心的电场强度。-|||-y↑-|||-ρn ρB-|||-0 Pn 文-|||-图题2.11

本题考查等边三角形中心电场强度的计算，关键是利用线电荷电场强度公式及对称性分析。

步骤1：线电荷的电场强度公式

无限长均匀线电荷的电场强度公式为：
$\vec{E} = \frac{\rho_l}{2\pi\varepsilon_0 r} \hat{r}$
其中，$\rho_l$为线电荷电荷密度，$r$为场点到线电荷的垂直距离，$\hat{r}$为垂直于线电荷指向场点的单位向量。

步骤2：等边三角形的几何关系

设等边三角形边长为$L$，中心（重心）到每条边的垂直距离（高的1/3）为：
$d = \frac{L}{2\sqrt{3}}$

步骤3：对称性分析

三根线电荷密度关系：$\rho_{11}=2\rho_{12}=2\rho_{13}$，即$\rho_{12}=\rho_{13}=\rho_{11}/2$。
中心电场强度是三根线电荷贡献的矢量和，利用对称性，水平方向分量抵消，仅保留垂直方向分量。

步骤4：计算各线电荷的垂直分量

• \(\rho_{11})的贡献**：方向竖直向上，大小为： $E_{11y} = \frac{\rho_{111}}{2\pi\varepsilon_0 d}$ - **(\rho_{12})和$\rho_{13}$的贡献：方向均竖直向上，每个大小为：
  $E_{12y}=E_{13y}=\frac{\rho_{12}}{2\pi\varepsilon_0 d}$
  总垂直分量：
  $E_y = E_{11y} + E_{12y} + E_{13y}$

步骤5：代入化简

将$\rho_{12}=\rho_{13=\rho_{11}/2$和$d=L/(2\sqrt{3})$代入：
$E_y = \frac{\rho_{11}}{2\pi\varepsilon_0 (L/(2\sqrt{3}))} + 2\times\frac{\rho_{11/2}{2\pi\varepsilon_0 (L/(2\sqrt{3}))}$
$= \frac{\rho_{11}{2\pi\varepsilon_0 L} \times 2\sqrt{3} \left(1 + 1\right) = \frac{frac{3\rho_{11}}{4\pi\varepsilon_0 L}}$