题目
质量为(m)_(2)的物体与轻弹簧相连，弹簧另一端用以质量可忽略的支架支起，静止在光滑桌面上，弹簧倔强系数为k，今有一质量为(m)_(1)，速度为(v)_(0)的物体向弹簧运动并与弹簧正碰，求弹簧被压缩的最大距离.
质量为${m}_{2}$的物体与轻弹簧相连，弹簧另一端用以质量可忽略的支架支起，静止在光滑桌面上，弹簧倔强系数为k，今有一质量为${m}_{1}$，速度为${v}_{0}$的物体向弹簧运动并与弹簧正碰，求弹簧被压缩的最大距离.
题目解答
答案
【答案】弹簧被压缩到最大距离时速度相等，由动量守恒得${m}_{1}{v}_{0}=({m}_{1}+{m}_{2})v$
由能量守恒定律得$frac {1} {2}{m}_{1}{v}^{2}_{0}=frac {1} {2}({m}_{1}+{m}_{2}){v}^{2}+frac {1} {2}k{x}^{2}$
解得：$x={v}_{0}sqrt {frac {{m}_{1}{m}_{2}} {({m}_{1}+{m}_{2})k}}$
答：弹簧被压缩的最大距离$x={v}_{0}sqrt {frac {{m}_{1}{m}_{2}} {({m}_{1}+{m}_{2})k}}$.
解析
步骤 1：动量守恒定律
在碰撞过程中，由于没有外力作用，系统的总动量保持不变。设碰撞后两物体共同的速度为$v$，则根据动量守恒定律，有：
${m}_{1}{v}_{0}=({m}_{1}+{m}_{2})v$
步骤 2：能量守恒定律
在碰撞过程中，系统的机械能守恒。碰撞前，系统的动能为$frac {1} {2}{m}_{1}{v}^{2}_{0}$，碰撞后，系统的动能为$frac {1} {2}({m}_{1}+{m}_{2}){v}^{2}$，弹簧的弹性势能为$frac {1} {2}k{x}^{2}$，其中$x$为弹簧被压缩的最大距离。根据能量守恒定律，有：
$frac {1} {2}{m}_{1}{v}^{2}_{0}=frac {1} {2}({m}_{1}+{m}_{2}){v}^{2}+frac {1} {2}k{x}^{2}$
步骤 3：求解$x$
将步骤 1 中的$v$代入步骤 2 中的方程，得到：
$frac {1} {2}{m}_{1}{v}^{2}_{0}=frac {1} {2}({m}_{1}+{m}_{2})frac {{m}^{2}_{1}{v}^{2}_{0}} {({m}_{1}+{m}_{2})^{2}}+frac {1} {2}k{x}^{2}$
化简得：
$frac {1} {2}{m}_{1}{v}^{2}_{0}=frac {1} {2}frac {{m}^{2}_{1}{v}^{2}_{0}} {{m}_{1}+{m}_{2}}+frac {1} {2}k{x}^{2}$
进一步化简得：
$k{x}^{2}={m}_{1}{v}^{2}_{0}-frac {{m}^{2}_{1}{v}^{2}_{0}} {{m}_{1}+{m}_{2}}$
$k{x}^{2}={m}_{1}{v}^{2}_{0}frac {{m}_{2}} {{m}_{1}+{m}_{2}}$
$x^{2}={v}^{2}_{0}frac {{m}_{1}{m}_{2}} {k({m}_{1}+{m}_{2})}$
$x={v}_{0}sqrt {frac {{m}_{1}{m}_{2}} {({m}_{1}+{m}_{2})k}}$
在碰撞过程中，由于没有外力作用，系统的总动量保持不变。设碰撞后两物体共同的速度为$v$，则根据动量守恒定律，有：
${m}_{1}{v}_{0}=({m}_{1}+{m}_{2})v$
步骤 2：能量守恒定律
在碰撞过程中，系统的机械能守恒。碰撞前，系统的动能为$frac {1} {2}{m}_{1}{v}^{2}_{0}$，碰撞后，系统的动能为$frac {1} {2}({m}_{1}+{m}_{2}){v}^{2}$，弹簧的弹性势能为$frac {1} {2}k{x}^{2}$，其中$x$为弹簧被压缩的最大距离。根据能量守恒定律，有：
$frac {1} {2}{m}_{1}{v}^{2}_{0}=frac {1} {2}({m}_{1}+{m}_{2}){v}^{2}+frac {1} {2}k{x}^{2}$
步骤 3：求解$x$
将步骤 1 中的$v$代入步骤 2 中的方程，得到：
$frac {1} {2}{m}_{1}{v}^{2}_{0}=frac {1} {2}({m}_{1}+{m}_{2})frac {{m}^{2}_{1}{v}^{2}_{0}} {({m}_{1}+{m}_{2})^{2}}+frac {1} {2}k{x}^{2}$
化简得：
$frac {1} {2}{m}_{1}{v}^{2}_{0}=frac {1} {2}frac {{m}^{2}_{1}{v}^{2}_{0}} {{m}_{1}+{m}_{2}}+frac {1} {2}k{x}^{2}$
进一步化简得：
$k{x}^{2}={m}_{1}{v}^{2}_{0}-frac {{m}^{2}_{1}{v}^{2}_{0}} {{m}_{1}+{m}_{2}}$
$k{x}^{2}={m}_{1}{v}^{2}_{0}frac {{m}_{2}} {{m}_{1}+{m}_{2}}$
$x^{2}={v}^{2}_{0}frac {{m}_{1}{m}_{2}} {k({m}_{1}+{m}_{2})}$
$x={v}_{0}sqrt {frac {{m}_{1}{m}_{2}} {({m}_{1}+{m}_{2})k}}$