题目
3. (2.0分) (dy)/(dx)=e^x-y是可分离变量的方程. ()A. 对B. 错
3. (2.0分) $\frac{dy}{dx}=e^{x-y}$是可分离变量的方程. ()
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
可分离变量微分方程的判断核心在于能否将方程整理为一边仅含$y$和$dy$,另一边仅含$x$和$dx$的形式。本题的关键在于处理指数项$e^{x-y}$,通过变形将其拆分为关于$x$和$y$的独立项,从而实现变量分离。
-
变形指数项
将原方程$\frac{dy}{dx} = e^{x-y}$改写为:
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{e^y}$
这里利用了指数运算性质$e^{x-y} = e^x \cdot e^{-y} = \frac{e^x}{e^y}$。 -
分离变量
两边同乘$e^y$,得到:
$e^y \frac{dy}{dx} = e^x$
进一步整理为:
$e^y \, dy = e^x \, dx$
此时,方程左边仅含$y$和$dy$,右边仅含$x$和$dx$,变量成功分离。
结论:方程满足可分离变量的条件,答案为A 对。