11-36 假设在一根弦线中传播的简谐波为 =Acos (kx-omega t),-|||-式中, =dfrac (G)(u) 称为波数。(1)写出弦线中能量密度与能流密度表示式;(2)写出平均能量密度与平均能流密度-|||-(波强)的表示式。

考查要点：本题主要考查弦线上简谐波的能量密度和能流密度的表达式及其平均值的计算，涉及波动能量的传输特性。

解题核心思路：

1. 能量密度：由弦线振动的动能和势能密度组成，简谐波中动能和势能相等，总能量密度为两者之和。
2. 能流密度：单位时间内通过单位面积的能量，与波的传播方向相关，需结合波速、能量密度推导。
3. 平均值计算：利用三角函数平方项的时间平均值为$\frac{1}{2}$，化简得到平均能量密度和波强。

破题关键点：

• 公式记忆：熟记能量密度和能流密度的表达式，注意线密度符号（$\mu$或$\rho$）的使用。
• 平均处理：对$\sin^2$项取时间平均，简化表达式。

第（1）题：能量密度与能流密度

能量密度推导

弦线中质点的纵振动动能密度为：
$w_{\text{动能}} = \frac{1}{2} \mu \left( \frac{\partial y}{\partial t} \right)^2$
同理，势能密度为：
$w_{\text{势能}} = \frac{1}{2} \mu \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2$
对简谐波$y = A\cos(kx - \omega t)$，有：
$\frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega \sin(kx - \omega t), \quad \frac{\partial y}{\partial x} = -Ak \sin(kx - \omega t)$
代入得总能量密度：
$w = w_{\text{动能}} + w_{\text{势能}} = \mu \omega^2 A^2 \sin^2(kx - \omega t)$

能流密度推导

能流密度为能量传输速率，公式为：
$I = \frac{1}{2} \mu u \omega^2 A^2 \sin^2(kx - \omega t)$
其中$u = \omega/k$为波速，代入$k = \omega/u$得：
$I = \mu u^2 k \omega A^2 \sin^2(kx - \omega t)$

第（2）题：平均能量密度与波强

平均能量密度

对$\sin^2$项取时间平均$\langle \sin^2 \rangle = \frac{1}{2}$，得：
$\overline{w} = \frac{1}{2} \mu \omega^2 A^2$

平均能流密度（波强）

同理，平均能流密度为：
$I = \frac{1}{2} \mu u \omega^2 A^2$
若以最大速度$v_0 = \omega A$表示，可写为：
$I = \frac{1}{2} v_0^2 A^2 u$