5.[单选题] lim_((x,y)to(0,0))((x^2+y^2))/(sqrt(x^2)+y^(2)+1-1)=( ). A -2 B 0 C 1 D 2

为了求解极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x^{2}+y^{2})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1}$，我们可以使用极坐标变换。极坐标变换将 $x$ 和 $y$ 转换为 $r$ 和 $\theta$，其中 $x = r\cos\theta$ 和 $y = r\sin\theta$。当 $(x, y) \to (0, 0)$ 时，$r \to 0$。 将 $x = r\cos\theta$ 和 $y = r\sin\theta$ 代入原表达式，我们得到： \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x^{2}+y^{2})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1} = \lim_{r\to 0}\frac{r^2}{\sqrt{r^2+1}-1} \] 接下来，我们需要简化分母 $\sqrt{r^2+1}-1$。可以使用有理化技巧，即乘以共轭表达式 $\sqrt{r^2+1}+1$： \[ \lim_{r\to 0}\frac{r^2}{\sqrt{r^2+1}-1} \cdot \frac{\sqrt{r^2+1}+1}{\sqrt{r^2+1}+1} = \lim_{r\to 0}\frac{r^2(\sqrt{r^2+1}+1)}{(\sqrt{r^2+1})^2-1^2} = \lim_{r\to 0}\frac{r^2(\sqrt{r^2+1}+1)}{r^2+1-1} = \lim_{r\to 0}\frac{r^2(\sqrt{r^2+1}+1)}{r^2} \] 由于 $r^2 \neq 0$ 当 $r \neq 0$ 时，我们可以约去 $r^2$： \[ \lim_{r\to 0}(\sqrt{r^2+1}+1) \] 现在，直接代入 $r = 0$： \[ \sqrt{0^2+1}+1 = \sqrt{1}+1 = 1+1 = 2 \] 因此，原极限为： \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x^{2}+y^{2})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}-1} = 2 \] 答案是 $\boxed{D}$。