题目

1.设沿y轴上的区间[0,1]放置一长度为1且线密度为ρ的均匀细杆，在x轴上x=1处有一单元质点，则该细杆对此质点的引力(G为引力常量)沿x轴正向的分力为____.

题目解答

答案

为了求解细杆对质点的引力沿x轴正向的分力，我们需要使用万有引力定律和积分方法。以下是解题过程： 1. **定义变量和 setup:** - 细杆沿 $ y $-轴从 $ y = 0 $ 到 $ y = 1 $。 - 细杆的线密度为 $ \rho $。 - 质点位于 $ x $-轴上的 $ x = 1 $ 处。 - 引力常量为 $ G $。 2. **微小质量元的引力:** - 考虑细杆上的一小段 $ dy $ 位于 $ y $ 处。 - 这一小微段的质量为 $ dm = \rho \, dy $。 3. **小微段对质点的引力:** - 质点与小微段之间的距离 $ r $ 为: \[ r = \sqrt{(1-0)^2 + (0-y)^2} = \sqrt{1 + y^2} \] - 根据万有引力定律，小微段对质点的引力 $ dF $ 为: \[ dF = \frac{G \cdot m \cdot dm}{r^2} = \frac{G \cdot m \cdot \rho \, dy}{1 + y^2} \] 4. **引力的x轴分量:** - 引力 $ dF $ 的方向是沿着质点和小微段之间的直线，其与 $ x $-轴的夹角 $ \theta $ 为: \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} \] - 引力 $ dF $ 沿 $ x $-轴的分量 $ dF_x $ 为: \[ dF_x = dF \cdot \cos \theta = \frac{G \cdot m \cdot \rho \, dy}{1 + y^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} = \frac{G \cdot m \cdot \rho \, dy}{(1 + y^2)^{3/2}} \] 5. **积分求总引力的x轴分量:** - 对 $ y $ 从 $ 0 $ 到 $ 1 $ 积分 $ dF_x $: \[ F_x = \int_0^1 \frac{G \cdot m \cdot \rho \, dy}{(1 + y^2)^{3/2}} \] - 令 $ y = \tan \theta $，则 $ dy = \sec^2 \theta \, d\theta $ 且 $ 1 + y^2 = \sec^2 \theta $: \[ F_x = \int_0^{\pi/4} \frac{G \cdot m \cdot \rho \cdot \sec^2 \theta \, d\theta}{(\sec^2 \theta)^{3/2}} = \int_0^{\pi/4} \frac{G \cdot m \cdot \rho \cdot \sec^2 \theta \, d\theta}{\sec^3 \theta} = \int_0^{\pi/4} \frac{G \cdot m \cdot \rho \, d\theta}{\sec \theta} = \int_0^{\pi/4} G \cdot m \cdot \rho \cdot \cos \theta \, d\theta \] - 计算积分: \[ F_x = G \cdot m \cdot \rho \cdot \sin \theta \bigg|_0^{\pi/4} = G \cdot m \cdot \rho \cdot \left( \sin \frac{\pi}{4} - \sin 0 \right) = G \cdot m \cdot \rho \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] 6. **代入 $ m = 1 $ (因为质点的质量没有给出，可以设为1，不影响比例关系):** \[ F_x = \frac{G \cdot \rho \cdot \sqrt{2}}{2} \] 7. **由于 $ \rho $ 为线密度，且细杆长度为1， $ \rho $ 与 $ m $ 无关，所以:** \[ F_x = \frac{G \cdot \rho \cdot \sqrt{2}}{2} \] 8. **最终答案:** \[ \boxed{\frac{G \rho \sqrt{2}}{2}} \] 因此，该细杆对质点的引力沿 $ x $-轴正向的分力为 $\boxed{\frac{G \rho \sqrt{2}}{2}}$.

解析

考查要点：本题主要考查万有引力定律的微元积分应用，涉及空间几何关系和积分计算技巧。

解题核心思路：

微元法：将细杆分割为无数微小质量元，计算每个微元对质点的引力分力。
几何关系：确定微元与质点的距离及引力方向与x轴的夹角。
积分求和：对所有微元的x分力沿y轴积分，通过变量代换简化积分。

破题关键点：

正确表达微元质量：线密度为$\rho$，微元质量$dm = \rho \, dy$。
准确写出距离公式：微元$(0,y)$与质点$(1,0)$的距离$r = \sqrt{1 + y^2}$。
分力方向分析：利用余弦定比分力，$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}}$。
积分技巧：通过三角代换$y = \tan\theta$简化被积函数。

步骤1：建立微元模型

细杆上微元位置为$(0, y)$，质量$dm = \rho \, dy$。

步骤2：计算微元引力

微元与质点距离：
$r = \sqrt{(1-0)^2 + (0 - y)^2} = \sqrt{1 + y^2}$
微元引力大小：
$dF = \frac{G \cdot m \cdot dm}{r^2} = \frac{G \cdot m \cdot \rho \, dy}{1 + y^2}$

步骤3：分解x轴分力

引力方向与x轴夹角$\theta$的余弦值：
$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}}$
x轴分力：
$dF_x = dF \cdot \cos\theta = \frac{G \cdot m \cdot \rho \, dy}{(1 + y^2)^{3/2}}$

步骤4：积分求总分力

积分区间$y \in [0, 1]$：
$F_x = \int_0^1 \frac{G \cdot m \cdot \rho \, dy}{(1 + y^2)^{3/2}}$
变量代换$y = \tan\theta$，$dy = \sec^2\theta \, d\theta$，积分变为：
$F_x = \int_0^{\pi/4} G \cdot m \cdot \rho \cdot \cos\theta \, d\theta$
计算积分：
$F_x = G \cdot m \cdot \rho \cdot \left[ \sin\theta \right]_0^{\pi/4} = \frac{G \cdot m \cdot \rho \cdot \sqrt{2}}{2}$

步骤5：确定质点质量

题目未明确质点质量$m$，但答案中未出现$m$，说明默认质点质量$m=1$，最终结果为：
$F_x = \frac{G \rho \sqrt{2}}{2}$