题目
波长为 500 , (nm) 的单色平行光射在间距 d 为 0.2 , (mm) 的双狭缝上. 通过其中一个缝的能量为另一个的 2 倍, 在离狭缝 50 , (cm) 的光屏上形成干涉图样. 求干涉条纹间距和条纹的可见度.
波长为 $500 \, \text{nm}$ 的单色平行光射在间距 $d$ 为 $0.2 \, \text{mm}$ 的双狭缝上. 通过其中一个缝的能量为另一个的 2 倍, 在离狭缝 $50 \, \text{cm}$ 的光屏上形成干涉图样. 求干涉条纹间距和条纹的可见度.
题目解答
答案
根据双缝干涉公式，条纹间距为：
\[
\Delta y = \frac{L \lambda}{d} = \frac{0.5 \times 500 \times 10^{-9}}{0.2 \times 10^{-3}} = 1.25 \, \text{mm}
\]
由 $I_1 = 2I_2$，得 $I_{\text{max}} = (3 + 2\sqrt{2}) I_2$，$I_{\text{min}} = (3 - 2\sqrt{2}) I_2$。
可见度为：
\[
V = \frac{I_{\text{max}} - I_{\text{min}}}{I_{\text{max}} + I_{\text{min}}} = \frac{4\sqrt{2} I_2}{6I_2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
\]
最终结果：
- 条纹间距：$\Delta y = 1.25 \, \text{mm}$。
- 可见度：$V = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
解析
本题主要考查双缝干涉条纹间距公式以及干涉条纹可见度的计算。解题思路如下：
- 计算干涉条纹间距：
- 对于双缝干涉，条纹间距公式为$\Delta y=\frac{L\lambda}{d}$，其中$L$是狭缝到光屏的距离，$\lambda$是单色光的波长，$d$是双狭缝的间距。
- 已知$L = 50\mathrm{cm}=0.5\mathrm{m}$，$\lambda = 500\mathrm{nm}=500\times10^{-9}\mathrm{m}$，$d = 0.2\mathrm{mm}=0.2\times10^{-3}\mathrm{m}$。
- 将这些值代入公式可得：
$\Delta y=\frac{L\lambda}{d}=\frac{0.5\times500\times10^{-9}}{0.2\times10^{-3}}$
$=\frac{250\times10^{-9}}{0.2\times10^{-3}}$
$=\frac{250}{0.2}\times10^{-6}$
$= 1250\times10^{-6}\mathrm{m}=1.25\times10^{-3}\mathrm{m}=1.25\mathrm{mm}$
- 计算干涉条纹的可见度：
- 设两缝的光强分别为$I_1$和$I_2$，已知$I_1 = 2I_2$。
- 干涉条纹的最大光强$I_{\text{max}}=(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})^2$，将$I_1 = 2I_2$代入可得：
$I_{\text{max}}=(\sqrt{2I_2}+\sqrt{I_2})^2=( \sqrt{2}+1)^2I_2=(2 + 2\sqrt{2}+1)I_2=(3 + 2\sqrt{2})I_2$ - 干涉条纹的最小光强$I_{\text{min}}=(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2$，将$I_1 = 2I_2$代入可得：
$I_{\text{min}}=(\sqrt{2I_2}-\sqrt{I_2})^2=( \sqrt{2}-1)^2I_2=(2 - 2\sqrt{2}+1)I_2=(3 - 2\sqrt{2})I_2$ - 干涉条纹的可见度公式为$V=\frac{I_{\text{max}} - I_{\text{min}}}{I_{\text{max}} + I_{\text{min}}}$，将$I_{\text{max}}=(3 + 2\sqrt{2})I_2$和$I_{\text{min}}=(3 - 2\sqrt{2})I_2$代入可得：
$V=\frac{(3 + 2\sqrt{2})I_2-(3 - 2\sqrt{2})I_2}{(3 + 2\sqrt{2})I_2+(3 - 2\sqrt{2})I_2}$
$=\frac{(3 + 2\sqrt{2}-3 + 2\sqrt{2})I_2}{(3 + 2\sqrt{2}+3 - 2\sqrt{2})I_2}$
$=\frac{4\sqrt{2}I_2}{6I_2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$