(2)lim_(xto0)((3+x)^sinx-3^sinx)/(x^2).
题目解答
答案
为了求解极限 $\lim_{x\to0}\frac{(3+x)^{\sin x}-3^{\sin x}}{x^2}$，我们可以使用泰勒展开和洛必达法则。下面将逐步进行解答。
步骤1: 使用泰勒展开
首先，考虑函数 $(3+x)^{\sin x}$ 在 $x=0$ 附近的泰勒展开。我们可以将 $(3+x)^{\sin x}$ 写成：
$(3+x)^{\sin x} = e^{\sin x \ln(3+x)}$
现在，我们需要对 $\sin x \ln(3+x)$ 进行泰勒展开。我们知道：
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$\ln(3+x) = \ln 3 + \frac{x}{3} - \frac{x^2}{18} + O(x^3)$
将这两个展开式相乘，得到：
$\sin x \ln(3+x) = \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) \left(\ln 3 + \frac{x}{3} - \frac{x^2}{18} + O(x^3)\right)$
展开并保留到 $x^2$ 项，我们得到：
$\sin x \ln(3+x) = x \ln 3 + \frac{x^2}{3} + O(x^3)$
因此，我们可以将 $e^{\sin x \ln(3+x)}$ 展开为：
$e^{\sin x \ln(3+x)} = e^{x \ln 3 + \frac{x^2}{3} + O(x^3)} = e^{x \ln 3} e^{\frac{x^2}{3} + O(x^3)} = \left(1 + x \ln 3 + \frac{(x \ln 3)^2}{2} + O(x^3)\right) \left(1 + \frac{x^2}{3} + O(x^3)\right)$
展开并保留到 $x^2$ 项，我们得到：
$e^{\sin x \ln(3+x)} = 1 + x \ln 3 + \frac{x^2 \ln^2 3}{2} + \frac{x^2}{3} + O(x^3)$
所以，$(3+x)^{\sin x}$ 的泰勒展开为：
$(3+x)^{\sin x} = 1 + x \ln 3 + \left(\frac{\ln^2 3}{2} + \frac{1}{3}\right)x^2 + O(x^3)$
同样，我们可以将 $3^{\sin x}$ 展开为：
$3^{\sin x} = e^{\sin x \ln 3} = e^{x \ln 3 + O(x^3)} = 1 + x \ln 3 + \frac{(x \ln 3)^2}{2} + O(x^3) = 1 + x \ln 3 + \frac{x^2 \ln^2 3}{2} + O(x^3)$
步骤2: 计算极限
现在，我们可以将这些展开式代入原极限表达式：
$\lim_{x\to0}\frac{(3+x)^{\sin x}-3^{\sin x}}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{\left(1 + x \ln 3 + \left(\frac{\ln^2 3}{2} + \frac{1}{3}\right)x^2 + O(x^3)\right) - \left(1 + x \ln 3 + \frac{x^2 \ln^2 3}{2} + O(x^3)\right)}{x^2}$
简化分子，我们得到：
$(3+x)^{\sin x} - 3^{\sin x} = \left(\frac{\ln^2 3}{2} + \frac{1}{3}\right)x^2 - \frac{x^2 \ln^2 3}{2} + O(x^3) = \frac{x^2}{3} + O(x^3)$
所以，极限变为：
$\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{3} + O(x^3)}{x^2} = \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{3} + O(x)\right) = \frac{1}{3}$
最终答案
因此，极限的值为：
$\boxed{\frac{1}{3}}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及指数函数与三角函数的复合形式。需要灵活运用泰勒展开或等价无穷小替换等方法处理复杂的表达式。
解题核心思路：
- 泰勒展开：将分子中的两个指数函数$(3+x)^{\sin x}$和$3^{\sin x}$分别展开到$x^2$阶，通过相减消去低阶项，保留有效项。
- 化简极限：将展开后的结果代入原式，分子化简后仅保留$x^2$项，分母为$x^2$，直接求极限。
破题关键点：
- 正确展开复合函数：对$\sin x$和$\ln(3+x)$进行泰勒展开，并准确计算乘积中的有效项。
- 指数函数展开：将乘积结果代入指数函数，展开并保留到$x^2$阶的项。
- 相减消元：通过分子相减消去低阶项，提取$x^2$项的系数。
步骤1：展开$(3+x)^{\sin x}$
- 写成指数形式：
$(3+x)^{\sin x} = e^{\sin x \cdot \ln(3+x)}.$ - 展开$\sin x$和$\ln(3+x)$：
- $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，保留到$x^3$项。
- $\ln(3+x) = \ln 3 + \frac{x}{3} - \frac{x^2}{18} + O(x^3)$，保留到$x^2$项。
- 计算乘积$\sin x \cdot \ln(3+x)$：
$\sin x \cdot \ln(3+x) = x \ln 3 + \frac{x^2}{3} + O(x^3).$ - 展开指数函数：
$e^{x \ln 3 + \frac{x^2}{3}} = 1 + x \ln 3 + \frac{x^2 \ln^2 3}{2} + \frac{x^2}{3} + O(x^3).$
步骤2：展开$3^{\sin x}$
- 写成指数形式：
$3^{\sin x} = e^{\sin x \cdot \ln 3}.$ - 展开$\sin x \cdot \ln 3$：
$\sin x \cdot \ln 3 = x \ln 3 + O(x^3).$ - 展开指数函数：
$e^{x \ln 3} = 1 + x \ln 3 + \frac{x^2 \ln^2 3}{2} + O(x^3).$
步骤3：计算分子差
- 相减：
$(3+x)^{\sin x} - 3^{\sin x} = \left(\frac{\ln^2 3}{2} + \frac{1}{3}\right)x^2 - \frac{x^2 \ln^2 3}{2} + O(x^3) = \frac{x^2}{3} + O(x^3).$ - 代入原式：
$\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{3} + O(x^3)}{x^2} = \frac{1}{3}.$