下列关系成立的是().A. (AB) cup (Aoverline(B)) = emptyset;B. overline(A)B = A cup B;C. overline(A) cup overline(B) = S - AB;D. (A cup B)C = overline(ABC).

我们来逐项分析这道集合论题目，判断哪一个选项中的关系是成立的。
题目中涉及的符号说明如下：

• $ A, B, C $：集合；
• $ \overline{A} $：表示集合 $ A $ 的补集（相对于全集 $ S $）；
• $ AB $：表示 $ A \cap B $，即交集；
• $ A \cup B $：并集；
• $ \emptyset $：空集；
• $ S $：全集。

选项 A：

$(AB) \cup (A\overline{B}) = \emptyset$

我们来分析左边的表达式：

• $ AB = A \cap B $
• $ \overline{B} $ 是 $ B $ 的补集，所以 $ A\overline{B} = A \cap \overline{B} $，即属于 $ A $ 但不属于 $ B $ 的元素。
• 所以：
  $(A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = A \cap (B \cup \overline{B}) = A \cap S = A$
  （这里用到了分配律：$ A \cap (B \cup \overline{B}) = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) $）

所以左边实际上是 $ A $，而右边是空集。

除非 $ A = \emptyset $，否则这个等式不成立。但题目没有限定 $ A $ 为空集，所以这个等式不恒成立。

✅ A 错误

选项 B：

$\overline{A}B = A \cup B$

左边：$ \overline{A}B = \overline{A} \cap B $，即属于 $ B $ 但不属于 $ A $ 的元素（也就是 $ B - A $）。

右边：$ A \cup B $，是 $ A $ 和 $ B $ 的所有元素。

显然，$ B - A \subseteq A \cup B $，但一般不等于，除非 $ A = \emptyset $ 且 $ B = S $，但这不是普遍成立的。

举个反例：
设全集 $ S = \{1,2,3\} $，$ A = \{1\} $，$ B = \{2\} $

• $ \overline{A} = \{2,3\} $
• $ \overline{A} \cap B = \{2\} \cap \{2\} = \{2\} $
• $ A \cup B = \{1,2\} $

显然 $ \{2\} \ne \{1,2\} $

✅ B 错误

选项 C：

$\overline{A} \cup \overline{B} = S - AB$

我们来分析两边。

左边：$ \overline{A} \cup \overline{B} $

根据德摩根律（De Morgan's Law）：
$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$

右边：$ S - AB = S - (A \cap B) = \overline{A \cap B} $（因为补集就是全集减去该集合）

所以：
$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B} = S - (A \cap B)$

因此，左边等于右边。

✅ C 正确

选项 D：

$(A \cup B)C = \overline{ABC}$

左边：$ (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) $

右边：$ \overline{ABC} = \overline{A \cap B \cap C} $，即不属于 $ A \cap B \cap C $ 的所有元素。

左边是一个集合（通常是 $ C $ 的子集），而右边是全集减去 $ A \cap B \cap C $，范围大得多。

举个反例：
设 $ A = B = C = S $，非空。

• 左边：$ (S \cup S) \cap S = S $
• 右边：$ \overline{S \cap S \cap S} = \overline{S} = \emptyset $

$ S \ne \emptyset $，所以不相等。

✅ D 错误

✅ 正确答案是：

$\boxed{\text{C}}$