题目
内径为 10(mm) 的开口玻璃管插入温度为 20^circ(C) 的水中，已知水与玻璃的接触角 theta=10^circ。试求水在管中上升的高度。
内径为 $10\text{mm}$ 的开口玻璃管插入温度为 $20^{\circ}\text{C}$ 的水中，已知水与玻璃的接触角 $\theta=10^{\circ}$。试求水在管中上升的高度。
题目解答
答案
根据毛细现象公式：
\[
h = \frac{2 \sigma \cos \theta}{\rho g r}
\]
将已知参数代入：
\[
h = \frac{2 \times 0.0728 \times \cos 10^\circ}{1000 \times 9.81 \times 5 \times 10^{-3}} = \frac{0.1434}{49.05} \approx 0.00292 \, \text{m} = 2.92 \, \text{mm}
\]
最终结果为：
\[
h \approx 2.92 \, \text{mm}
\]
解析
本题考查毛细现象的知识，解题思路是利用毛细现象公式$h = \frac{2 \sigma \cos \theta}{\rho g r}$来计算水在管中上升的高度。具体步骤如下：
- 明确公式中各物理量的含义：
- $h$为液体在毛细管中上升的高度，这是我们要求解的量。
- $\sigma$为液体的表面张力系数，对于$20^{\circ}C$的水，$\sigma = 0.0728\mathrm{N/m}$。
- $\theta$为液体与管壁的接触角，已知$\theta = 10^{\circ}$。
- $\rho$为液体的密度，水的密度$\rho = 1000\mathrm{kg/m^3}$。
- $g$为重力加速度，通常取$g = 9.81\mathrm{m/s^2}$。
- $r$为毛细管的半径，已知玻璃管内径$d = 10\mathrm{mm}=10\times10^{-3}\mathrm{m}$，则半径$r=\frac{d}{2}=\frac{10\times10^{-3}}{2}=5\times10^{-3}\mathrm{m}$。
- 将各物理量的值代入公式进行计算：
- 先计算$2\sigma\cos\theta$的值：
$2\sigma\cos\theta = 2\times0.0728\times\cos10^{\circ}$
因为$\cos10^{\circ}\approx0.9848$，所以$2\times0.0728\times\cos10^{\circ}\approx2\times0.0728\times0.9848 = 0.1434$。 - 再计算$\rho gr$的值：
$\rho gr=1000\times9.81\times5\times10^{-3}=49.05$。 - 最后计算$h$的值：
$h = \frac{2 \sigma \cos \theta}{\rho g r}=\frac{0.1434}{49.05}\approx0.00292\mathrm{m}$。
- 先计算$2\sigma\cos\theta$的值：
- 单位换算：
因为$1\mathrm{m}=1000\mathrm{mm}$，所以$0.00292\mathrm{m}=0.00292\times1000 = 2.92\mathrm{mm}$。