题目

当主量子数是 4 时，请指出包含的亚层和各亚层的轨道数，并归纳轨道总数及所能容纳的电子总数与主量子数的关系。

当主量子数是 4 时，请指出包含的亚层和各亚层的轨道数，并归纳轨道总数及所能容纳的电子总数与主量子数的关系。

题目解答

答案

当 $ n = 4 $ 时，包含的亚层为 $ 4s $、$ 4p $、$ 4d $、$ 4f $。 - $ 4s $：1 个轨道，可容纳 2 电子。 - $ 4p $：3 个轨道，可容纳 6 电子。 - $ 4d $：5 个轨道，可容纳 10 电子。 - $ 4f $：7 个轨道，可容纳 14 电子。 总轨道数为 $ 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = n^2 $。 总电子数为 $ 2 + 6 + 10 + 14 = 32 = 2n^2 $。 结论：轨道总数为 $ n^2 $，电子总数为 $ 2n^2 $。

解析

考查要点：本题主要考查原子轨道的量子数规律，包括亚层的划分、轨道数与电子数的计算，以及归纳主量子数与轨道总数、电子总数的关系。

解题核心思路：

  1. 确定亚层数：根据主量子数$n$，角量子数$l$的取值范围为$0$到$n-1$，每个$l$对应一个亚层（如$s, p, d, f$）。
  2. 计算轨道数：每个亚层的轨道数为$2l+1$。
  3. 计算电子数：每个轨道最多容纳$2$个电子，因此亚层电子数为轨道数$\times 2$。
  4. 归纳关系：总轨道数为$n^2$，总电子数为$2n^2$。

破题关键点：

  • 角量子数的取值：明确$l$的取值范围是$0 \leq l \leq n-1$。
  • 轨道数与电子数的公式：直接应用$2l+1$和$2(2l+1)$计算。

当主量子数$n=4$时：

  1. 确定亚层数
    角量子数$l$的取值为$0,1,2,3$，对应亚层为$4s$（$l=0$）、$4p$（$l=1$）、$4d$（$l=2$）、$4f$（$l=3$）。

  2. 计算各亚层的轨道数和电子数

    • $4s$层：$l=0$，轨道数$=2(0)+1=1$，电子数$=1 \times 2=2$。
    • $4p$层：$l=1$，轨道数$=2(1)+1=3$，电子数$=3 \times 2=6$。
    • $4d$层：$l=2$，轨道数$=2(2)+1=5$，电子数$=5 \times 2=10$。
    • $4f$层：$l=3$，轨道数$=2(3)+1=7$，电子数$=7 \times 2=14$。

  3. 归纳总轨道数与总电子数

    • 总轨道数：$1+3+5+7=16=4^2=n^2$。
    • 总电子数：$2+6+10+14=32=2 \times 4^2=2n^2$。