题目
2、求幂级数sum_(n=1)^infty((x-1)^n)/(2^n)n的收敛域.
2、求幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{2^{n}n}$的收敛域.
题目解答
答案
设 $a_n = \frac{(x-1)^n}{2^n n}$，利用比值法求收敛半径：
\[
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-1)^{n+1}}{2^{n+1} (n+1)} \cdot \frac{2^n n}{(x-1)^n} \right| = \frac{|x-1|}{2} < 1 \implies |x-1| < 2.
\]
解得收敛区间为 $(-1, 3)$。
端点分析：
- 当 $x = -1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，由莱布尼茨判别法收敛。
- 当 $x = 3$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，为调和级数发散。
**答案：** $\boxed{[-1, 3)}$
解析
步骤 1：确定幂级数的一般项
幂级数的一般项为 $a_n = \frac{(x-1)^n}{2^n n}$。
步骤 2：利用比值法求收敛半径
利用比值法求收敛半径，计算 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$：
\[
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-1)^{n+1}}{2^{n+1} (n+1)} \cdot \frac{2^n n}{(x-1)^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-1)}{2} \cdot \frac{n}{n+1} \right| = \frac{|x-1|}{2}.
\]
收敛条件为 $\frac{|x-1|}{2} < 1$，即 $|x-1| < 2$，解得收敛区间为 $(-1, 3)$。
步骤 3：端点分析
- 当 $x = -1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，由莱布尼茨判别法收敛。
- 当 $x = 3$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，为调和级数发散。
幂级数的一般项为 $a_n = \frac{(x-1)^n}{2^n n}$。
步骤 2：利用比值法求收敛半径
利用比值法求收敛半径，计算 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$：
\[
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-1)^{n+1}}{2^{n+1} (n+1)} \cdot \frac{2^n n}{(x-1)^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-1)}{2} \cdot \frac{n}{n+1} \right| = \frac{|x-1|}{2}.
\]
收敛条件为 $\frac{|x-1|}{2} < 1$，即 $|x-1| < 2$，解得收敛区间为 $(-1, 3)$。
步骤 3：端点分析
- 当 $x = -1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，由莱布尼茨判别法收敛。
- 当 $x = 3$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，为调和级数发散。