题目
7.3.12 如题7.3.12图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直-|||-分线的长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心O点处的场强和电势.
题目解答
答案
解析
步骤 1：场强的计算
由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消。取 $dl=Rd\theta$ ，则 $dq=\lambda Rd\theta$ 产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向。因此，我们只需要考虑半圆环对O点的场强贡献。半圆环上任意一点到O点的距离为R，因此，半圆环上任意一点的电荷元 $dq$ 在O点产生的场强大小为 $dE=\dfrac {kdq}{R^2}=\dfrac {k\lambda Rd\theta}{R^2}=\dfrac {k\lambda d\theta}{R}$ 。由于对称性，半圆环上所有电荷元在O点产生的场强方向相同，因此，O点的总场强为 $E=\int_{0}^{\pi}dE=\int_{0}^{\pi}\dfrac {k\lambda d\theta}{R}=\dfrac {k\lambda}{R}\int_{0}^{\pi}d\theta=\dfrac {k\lambda}{R}\pi$ 。
步骤 2：电势的计算
AB电荷在O点产生电势，以 ${U}_{a}=0$ ，则 ${U}_{1}={\int }_{B}^{A}\dfrac {\lambda dx}{4\pi {e}_{0}x}={\int }_{R}^{2R}\dfrac {\lambda dx}{4\pi {e}_{0}x}=\dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}\ln 2$ 。同理，CD产生 ${U}_{2}=\dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}\ln 2$ 。半圆环产生 ${U}_{3}=\dfrac {\pi R\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}R}=\dfrac {\lambda }{4{\varepsilon }_{0}}$ 。因此，O点的总电势为 ${U}_{0}={U}_{1}+{U}_{2}+{U}_{3}=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}}\ln 2+\dfrac {\lambda }{4{\varepsilon }_{0}}$ 。
由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消。取 $dl=Rd\theta$ ，则 $dq=\lambda Rd\theta$ 产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向。因此，我们只需要考虑半圆环对O点的场强贡献。半圆环上任意一点到O点的距离为R，因此，半圆环上任意一点的电荷元 $dq$ 在O点产生的场强大小为 $dE=\dfrac {kdq}{R^2}=\dfrac {k\lambda Rd\theta}{R^2}=\dfrac {k\lambda d\theta}{R}$ 。由于对称性，半圆环上所有电荷元在O点产生的场强方向相同，因此，O点的总场强为 $E=\int_{0}^{\pi}dE=\int_{0}^{\pi}\dfrac {k\lambda d\theta}{R}=\dfrac {k\lambda}{R}\int_{0}^{\pi}d\theta=\dfrac {k\lambda}{R}\pi$ 。
步骤 2：电势的计算
AB电荷在O点产生电势，以 ${U}_{a}=0$ ，则 ${U}_{1}={\int }_{B}^{A}\dfrac {\lambda dx}{4\pi {e}_{0}x}={\int }_{R}^{2R}\dfrac {\lambda dx}{4\pi {e}_{0}x}=\dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}\ln 2$ 。同理，CD产生 ${U}_{2}=\dfrac {\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}}\ln 2$ 。半圆环产生 ${U}_{3}=\dfrac {\pi R\lambda }{4\pi {\varepsilon }_{0}R}=\dfrac {\lambda }{4{\varepsilon }_{0}}$ 。因此，O点的总电势为 ${U}_{0}={U}_{1}+{U}_{2}+{U}_{3}=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}}\ln 2+\dfrac {\lambda }{4{\varepsilon }_{0}}$ 。