题目
R r螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极小的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀本布。球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。（1）求r＞R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示。根据在r＞R范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（r＞R）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律。求r=nR内暗物质的质量M′。
螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极小的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀本布。球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。（1）求r＞R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示。根据在r＞R范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（r＞R）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律。求r=nR内暗物质的质量M′。
题目解答
答案
解：（1）由题可知，星系中心就是半径为R的球体的球心，r＞R区域的恒星（设其质量为m）绕星系中心做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得r＞R区域的恒星的速度大小v与r的关系为：
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，（r＞R）
（2）由题意通过类比可知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力也为零。设在r≤R区域内，半径为r的球体内的内物质总质量为M1，根据球体积公式：V球=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$，可得：
$\frac{{M}_{1}}{M}=\frac{{V}_{1}}{V}=\frac{{r}^{3}}{{R}^{3}}$
同理，由万有引力提供向心力得：
$G\frac{M_1m}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
联立解得r≤R区域的恒星的速度大小v与r的关系为：
v=$\sqrt{\frac{GM}{R^3}}r$，（r≤R）
（3）设在r＞R范围内的恒星速度大小为v1，由图象可知v1近似等于轨道半径为R的恒星对应的线速度大小，由（2）的结论可得：v1=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
可把r=nR球体内的暗物质（暗物质分布在R～nR的球壳内）看作处在星系中心的等质量的质点，r＞R范围内的恒星所需的向心力等于星系物质和暗物质对恒星的万有引力之和，则有：
$G\frac{Mm}{{（nR）}^{2}}$+$G\frac{M′m}{{（nR）}^{2}}=m\frac{{v_1}^{2}}{nR}$
解得r=nR内暗物质的质量M′为：
M′=（n-1）M，（n＞1）
答：（1）r＞R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系为v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，（r＞R）；
（2）r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系为v=$\sqrt{\frac{GM}{R^3}}r$，（r≤R）；
（3）r=nR内暗物质的质量M′为（n-1）M，（n＞1）。
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得r＞R区域的恒星的速度大小v与r的关系为：
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，（r＞R）
（2）由题意通过类比可知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力也为零。设在r≤R区域内，半径为r的球体内的内物质总质量为M1，根据球体积公式：V球=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$，可得：
$\frac{{M}_{1}}{M}=\frac{{V}_{1}}{V}=\frac{{r}^{3}}{{R}^{3}}$
同理，由万有引力提供向心力得：
$G\frac{M_1m}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
联立解得r≤R区域的恒星的速度大小v与r的关系为：
v=$\sqrt{\frac{GM}{R^3}}r$，（r≤R）
（3）设在r＞R范围内的恒星速度大小为v1，由图象可知v1近似等于轨道半径为R的恒星对应的线速度大小，由（2）的结论可得：v1=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
可把r=nR球体内的暗物质（暗物质分布在R～nR的球壳内）看作处在星系中心的等质量的质点，r＞R范围内的恒星所需的向心力等于星系物质和暗物质对恒星的万有引力之和，则有：
$G\frac{Mm}{{（nR）}^{2}}$+$G\frac{M′m}{{（nR）}^{2}}=m\frac{{v_1}^{2}}{nR}$
解得r=nR内暗物质的质量M′为：
M′=（n-1）M，（n＞1）
答：（1）r＞R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系为v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，（r＞R）；
（2）r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系为v=$\sqrt{\frac{GM}{R^3}}r$，（r≤R）；
（3）r=nR内暗物质的质量M′为（n-1）M，（n＞1）。
解析
- 考查要点：本题综合考查天体运动规律、万有引力定律的应用，以及通过类比法处理物理问题的能力。第（3）问结合实际观测数据，引入暗物质的概念，需结合万有引力叠加原理进行分析。
- 解题核心思路：
- 第（1）问：利用万有引力提供向心力，直接应用公式推导。
- 第（2）问：类比电场中均匀球壳对内部电荷的库仑力为零，推导均匀球体内部的引力规律。
- 第（3）问：根据观测数据（速度趋于恒定）推断暗物质的存在，通过引力叠加计算暗物质质量。
第（1）题
万有引力提供向心力
在$r > R$区域，恒星绕星系中心做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：
$G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$
解得速度公式
整理得：
$v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \quad (r > R)$
第（2）题
类比电场中的均匀球壳
在$r \leq R$区域，星系物质均匀分布，半径为$r$的球体内的质量为：
$M_1 = M \cdot \frac{r^3}{R^3}$
万有引力提供向心力
此时万有引力由内部质量$M_1$产生：
$G\frac{M_1 m}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$
联立求解
代入$M_1$表达式，整理得：
$v = \sqrt{\frac{GM}{R^3}} r \quad (r \leq R)$
第（3）题
观测数据与速度关系
由图可知，$r > R$时速度$v_1 \approx \sqrt{\frac{GM}{R}}$（由第（2）问$r=R$时的速度）。
暗物质的引力贡献
暗物质分布在$R$到$nR$的球壳内，总质量为$M'$。对$r = nR$处的恒星，总引力为：
$G\frac{Mm}{(nR)^2} + G\frac{M'm}{(nR)^2} = m\frac{v_1^2}{nR}$
解暗物质质量
联立$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$，解得：
$M' = (n-1)M \quad (n > 1)$