题目
13.(10分)如图所示,长 R=0.6m 的不可伸长的细绳-|||-一端固定在O点.另一端系着质量 _(2)=0.1kg 的小-|||-球B,小球B刚好与水平面相接触.现使质量 _(1)=-|||-0.3kg的物体A以 _(0)=4m/s 的速度向B运动.A-|||-与水平面间的接触面光滑.A、B碰撞后,物块A的速-|||-度变为碰前瞬间速度的 dfrac (1)(2). 小球B能在竖直平面内-|||-做圆周运动.已知重力加速度 =10m/(s)^2, A、B均可-|||-视为质点,试求:-|||-O-|||-R-|||-v0-|||-B-|||-A bigcirc -|||-(1)在A与B碰撞后瞬间,小球B的速度v2的大小;-|||-(2)小球B运动到圆周最高点时受到细绳的拉力-|||-大小.
题目解答
答案
解析
步骤 1：碰撞过程中的动量守恒
在A与B碰撞过程中，由于水平面光滑，系统在水平方向上动量守恒。设碰撞后A的速度为 ${v}_{1}'$，B的速度为 ${v}_{2}$。根据动量守恒定律，有：
\[ {m}_{1}{v}_{0} = {m}_{1}{v}_{1}' + {m}_{2}{v}_{2} \]
其中 ${v}_{1}' = \dfrac{{v}_{0}}{2}$，代入已知数据，可得：
\[ 0.3 \times 4 = 0.3 \times 2 + 0.1 \times {v}_{2} \]
步骤 2：求解小球B的速度 ${v}_{2}$
解上述方程，可得：
\[ 1.2 = 0.6 + 0.1 \times {v}_{2} \]
\[ 0.6 = 0.1 \times {v}_{2} \]
\[ {v}_{2} = 6m/s \]
步骤 3：小球B在圆周运动最高点的受力分析
小球B在圆周运动最高点时，受到重力和细绳的拉力。设小球B在最高点的速度为 ${v}_{3}$，根据机械能守恒定律，有：
\[ \dfrac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2} = \dfrac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{3}}^{2} + {m}_{2}g \cdot 2R \]
解得：
\[ {{v}_{3}}^{2} = {{v}_{2}}^{2} - 4gR \]
在最高点，根据牛顿第二定律，有：
\[ {F}_{T} + {m}_{2}g = {m}_{2}\dfrac{{{v}_{3}}^{2}}{R} \]
代入 ${v}_{3}$ 的表达式，可得：
\[ {F}_{T} = {m}_{2}\left(\dfrac{{{v}_{2}}^{2}}{R} - 5g\right) \]
步骤 4：求解细绳的拉力 ${F}_{T}$
代入已知数据，可得：
\[ {F}_{T} = 0.1 \times \left(\dfrac{6^2}{R} - 5 \times 10\right) \]
\[ {F}_{T} = 0.1 \times \left(\dfrac{36}{R} - 50\right) \]
由于小球B能在竖直平面内做圆周运动，所以 ${F}_{T} \geq 0$，即：
\[ \dfrac{36}{R} - 50 \geq 0 \]
\[ R \leq \dfrac{36}{50} = 0.72m \]
当 $R = 0.72m$ 时，${F}_{T} = 0$，即小球B在最高点时细绳的拉力为0。当 $R < 0.72m$ 时，${F}_{T} > 0$，即小球B在最高点时细绳的拉力大于0。
在A与B碰撞过程中，由于水平面光滑，系统在水平方向上动量守恒。设碰撞后A的速度为 ${v}_{1}'$，B的速度为 ${v}_{2}$。根据动量守恒定律，有：
\[ {m}_{1}{v}_{0} = {m}_{1}{v}_{1}' + {m}_{2}{v}_{2} \]
其中 ${v}_{1}' = \dfrac{{v}_{0}}{2}$，代入已知数据，可得：
\[ 0.3 \times 4 = 0.3 \times 2 + 0.1 \times {v}_{2} \]
步骤 2：求解小球B的速度 ${v}_{2}$
解上述方程，可得：
\[ 1.2 = 0.6 + 0.1 \times {v}_{2} \]
\[ 0.6 = 0.1 \times {v}_{2} \]
\[ {v}_{2} = 6m/s \]
步骤 3：小球B在圆周运动最高点的受力分析
小球B在圆周运动最高点时，受到重力和细绳的拉力。设小球B在最高点的速度为 ${v}_{3}$，根据机械能守恒定律，有：
\[ \dfrac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2} = \dfrac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{3}}^{2} + {m}_{2}g \cdot 2R \]
解得：
\[ {{v}_{3}}^{2} = {{v}_{2}}^{2} - 4gR \]
在最高点，根据牛顿第二定律，有：
\[ {F}_{T} + {m}_{2}g = {m}_{2}\dfrac{{{v}_{3}}^{2}}{R} \]
代入 ${v}_{3}$ 的表达式，可得：
\[ {F}_{T} = {m}_{2}\left(\dfrac{{{v}_{2}}^{2}}{R} - 5g\right) \]
步骤 4：求解细绳的拉力 ${F}_{T}$
代入已知数据，可得：
\[ {F}_{T} = 0.1 \times \left(\dfrac{6^2}{R} - 5 \times 10\right) \]
\[ {F}_{T} = 0.1 \times \left(\dfrac{36}{R} - 50\right) \]
由于小球B能在竖直平面内做圆周运动，所以 ${F}_{T} \geq 0$，即：
\[ \dfrac{36}{R} - 50 \geq 0 \]
\[ R \leq \dfrac{36}{50} = 0.72m \]
当 $R = 0.72m$ 时，${F}_{T} = 0$，即小球B在最高点时细绳的拉力为0。当 $R < 0.72m$ 时，${F}_{T} > 0$，即小球B在最高点时细绳的拉力大于0。