题目

质点沿X轴作谐振动的振动方程以 X = A cos (omega t + varphi) 表示, 若以 X_0 = 0, 且向负方向运动为计时的起点时刻, 则其初相为:____pi。(填小数, 保留一位小数)。

质点沿X轴作谐振动的振动方程以 $X = A \cos (\omega t + \varphi)$ 表示, 若以 $X_0 = 0$, 且向负方向运动为计时的起点时刻, 则其初相为:____$\pi$。(填小数, 保留一位小数)。

题目解答

答案

根据题意，$ x_0 = 0 $ 得 $ \cos(\varphi) = 0 $，故 $ \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi $。 由 $ v_0 < 0 $，得 $ \sin(\varphi) > 0 $，仅当 $ \varphi = \frac{\pi}{2} $ 时满足。 因此，初相位为 $ \varphi = 0.5\pi $。 答案：0.5

解析

本题考查简谐振动方程中初相的确定，解题思路是根据给定的初始条件，结合简谐振动方程及其速度表达式来确定初相的值。

  1. 根据初始位置确定初相的可能值：
    已知质点的振动方程为$X = A \cos (\omega t + \varphi)$，当$t = 0$时，$X_0 = 0$，将$t = 0$代入振动方程可得：
    $X_0 = A \cos (\omega\times0 + \varphi)=A\cos\varphi = 0$
    因为$A\neq0$，所以$\cos\varphi = 0$。
    根据三角函数的性质，$\cos\alpha = 0$时，$\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi$，$k\in Z$，则$\varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$，$k\in Z$。
  2. 根据初始速度方向进一步确定初相：
    对振动方程$X = A \cos (\omega t + \varphi)$求导，可得到速度方程$v=\frac{dX}{dt}=-A\omega\sin(\omega t + \varphi)$。
    当$t = 0$时，$v_0=-A\omega\sin\varphi$。
    已知质点在$t = 0$时向负方向运动，即$v_0\lt0$，因为$A\gt0$，$\omega\gt0$，所以$-A\omega\sin\varphi\lt0$，两边同时除以$-A\omega$（$-A\omega\lt0$），不等号方向改变，可得$\sin\varphi\gt0$。
    当$k = 0$时，$\varphi = \frac{\pi}{2}$，此时$\sin\varphi=\sin\frac{\pi}{2}=1\gt0$，满足条件；
    当$k = 1$时，$\varphi = \frac{\pi}{2} + \pi=\frac{3\pi}{2}$，此时$\sin\varphi=\sin\frac{3\pi}{2}=-1\lt0$，不满足条件；
    当$k$取其他整数时，也可通过三角函数的周期性判断是否满足$\sin\varphi\gt0$，只有$\varphi = \frac{\pi}{2}$满足。
  3. 将初相化为题目要求的形式：
    $\varphi = \frac{\pi}{2}=0.5\pi$