【题目】4.有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长10m和6m,高为20米,较长的底边与水面相齐.计算闸门的一侧所受的水压力

步骤 1：确定水压力的计算公式
水压力的计算公式为：\[P = \rho ghA\]，其中 \(\rho\) 是水的密度，\(g\) 是重力加速度，\(h\) 是水深，\(A\) 是受力面积。由于水深 \(h\) 不是常数，需要对梯形的面积进行积分计算。

步骤 2：确定梯形的面积和水深
梯形的面积 \(A\) 可以表示为底边长度和高之间的函数。设梯形的上底为 \(a=6m\)，下底为 \(b=10m\)，高为 \(h=20m\)。梯形的面积 \(A\) 可以表示为 \[A = \frac{1}{2}(a+b)h\]。但是，由于水深 \(h\) 不是常数，需要对梯形的面积进行积分计算。

步骤 3：计算梯形的面积
梯形的面积可以表示为 \[A = \int_{0}^{20} \left(6 + \frac{4}{20}x\right) dx\]，其中 \(x\) 是从下底到上底的距离。计算积分得到 \[A = \left[6x + \frac{2}{20}x^2\right]_{0}^{20} = 120 + 40 = 160m^2\]。

步骤 4：计算水压力
水压力的计算公式为 \[P = \rho ghA\]，其中 \(\rho = 1000kg/m^3\)，\(g = 9.8m/s^2\)，\(h = 20m\)，\(A = 160m^2\)。计算得到 \[P = 1000 \times 9.8 \times 20 \times 160 = 31360000N\]。但是，由于水深 \(h\) 不是常数，需要对梯形的面积进行积分计算。因此，需要对梯形的面积进行积分计算，得到 \[P = \int_{0}^{20} \rho g \left(20 - x\right) \left(6 + \frac{4}{20}x\right) dx\]。计算积分得到 \[P = 14373 \times 10^3N\]。