质量为m的子弹以速率v_0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度成正比，比例系数为k（k是大于零的常数），忽略子弹的重力，子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数关系式为（）A. v=v_0^-kt/mB. v=v_0^-ktC. v=mv_0^-ktD. v=v_0e^-kt/m

考查要点：本题主要考查学生对变力作用下的运动学问题的分析能力，涉及微分方程的建立与求解，以及对指数衰减规律的理解。

解题核心思路：

1. 根据题意，阻力与速度成正比，建立动力学方程；
2. 将方程转化为微分方程并分离变量；
3. 通过积分求解速度随时间的变化规律，结合初始条件确定常数。

破题关键点：

• 正确写出阻力表达式：阻力方向与速度方向相反，大小为$f = -kv$；
• 应用牛顿第二定律：$m \frac{dv}{dt} = -kv$，分离变量后积分；
• 注意物理量的初始条件：$t=0$时速度为$v_0$，用于确定积分常数。

建立微分方程

根据题意，子弹受到的阻力为$f = -kv$（负号表示方向与速度相反），由牛顿第二定律：
$m \frac{dv}{dt} = -kv$
整理得：
$\frac{dv}{dt} = -\frac{k}{m}v$

分离变量并积分

将方程改写为：
$\frac{dv}{v} = -\frac{k}{m} dt$
两边积分：
$\int \frac{1}{v} dv = -\int \frac{k}{m} dt$
积分结果为：
$\ln v = -\frac{k}{m}t + C$

确定积分常数

当$t=0$时，$v=v_0$，代入得：
$\ln v_0 = C$
因此：
$\ln v = -\frac{k}{m}t + \ln v_0$
整理得：
$v = v_0 e^{-\frac{kt}{m}}$

结论：速度随时间呈指数衰减，正确选项为D。