题目

（单选题） 一个长直螺线管单位长度的匝数为 n，横截面积为 S。则该螺线管单位长度的自感系数和通有电流 I 时的磁能分别为A. L=mu_0nS，W_(mathrm{m)}=Large(1)/(2) mu_0 nSI^2。B. L=mu_0n^2S，W_(mathrm{m)}=Large(1)/(2) mu_0 n^2SI^2。C. L=mu_0nS，W_(mathrm{m)}=Large(1)/(2) mu_0 n^2SI^2。D. L=mu_0n^2S，W_(mathrm{m)}=Large(1)/(2) mu_0 n^2SI。

（单选题） 一个长直螺线管单位长度的匝数为 $n$，横截面积为 $S$。则该螺线管单位长度的自感系数和通有电流 $I$ 时的磁能分别为

A. $L=\mu_0nS$，$W_{\mathrm{m}}=\Large\frac{1}{2}$$ \mu_0 nSI^2$。

B. $L=\mu_0n^2S$，$W_{\mathrm{m}}=\Large\frac{1}{2}$$ \mu_0 n^2SI^2$。

C. $L=\mu_0nS$，$W_{\mathrm{m}}=\Large\frac{1}{2}$$ \mu_0 n^2SI^2$。

D. $L=\mu_0n^2S$，$W_{\mathrm{m}}=\Large\frac{1}{2}$$ \mu_0 n^2SI$。

题目解答

答案

B. $L=\mu_0n^2S$，$W_{\mathrm{m}}=\Large\frac{1}{2}$$ \mu_0 n^2SI^2$。

解析

本题考查长直螺线管的自感系数和磁能的计算，解题思路是先根据安培环路定理求出长直螺线管内部的磁感应强度，再结合自感系数的定义求出单位长度的自感系数，最后根据磁能公式求出通有电流时的磁能。

  1. 计算长直螺线管内部的磁感应强度：
    • 对于长直螺线管，根据安培环路定理$\oint_{L}\vec{B}\cdot d\vec{l\}=\mu_0\sum_{i}I_i$，在长直螺线管内部取一个矩形安培环路，其中一边与螺线管内部，一边在螺线管外部，另外两边与螺线管轴线垂直。
    • 由于螺线管外部磁场近似为零，且与轴线垂直的两边$\vec{B}\cdot d\vec{l}=0$，设螺线管单位长度匝数为$n$，通有电流$I$，则矩形安培环路所包围的电流$\sum_{i}I_i = nIl$（$l$为矩形安培环路在螺线管内部的边长）。
    • 所以$Bl=\mu_0nIl$，可得长直螺线管内部的磁感应强度$B = \mu_0nI$。
  2. 计算单位长度的自感系数：
    • 自感系数的定义式为$L=\frac{\varPhi}{I}$，其中$\varPhi$为磁通量，$I$为电流。
    • 对于长直螺线管，磁通量$\varPhi = BS$（$S$为螺线管的横截面积），将$B = \mu_0nI$代入可得$\varPhi=\mu_0nIS$。
    • 则单位长度的自感系数$L=\frac{\varPhi}{I}=\mu_0n^2S$。
  3. 计算通有电流$I$时的磁能：
    • 磁能公式为$W_m=\frac{1}{2}LI^2$。
    • 将$\(L = \mu_0n^2S$ 代入磁能公式，可得$W_m=\frac{1}{2}\mu_0n^2SI^2$。