42【单选题】设平面方程为 Bx + Cz + D = 0, 且 B, C, D ≠ 0, 则平面( )A. 平行于 x 轴B. 垂直于 x 轴C. 平行于 y 轴D. 垂直于 y 轴

本题考查平面方程的性质以及平面与坐标轴的位置关系。解题的关键在于分析平面方程中各变量的系数情况，通过平面的法向量与坐标轴方向向量的关系来判断平面与坐标轴的位置关系。

步骤一：明确平面的法向量

对于平面的一般式方程 $Ax + By + Cz + D = 0$，其法向量为 $\vec{n}=(A,B,C)$。
在给定的平面方程 $Bx + Cz + D = 0$ 中，$A = 0$，$B\neq0$，$C\neq0$，$D\neq0$，所以该平面的法向量为 $\vec{n}=(0,B,C)$。

步骤二：分析坐标轴的方向向量

• $x$ 轴的方向向量为 $\vec{i}=(1,0,0)$。
• $y$ 轴的方向向量为 $\vec{j}=(0,1,0)$。
• $z$ 轴的方向向量为 $\vec{k}=(0,0,1)$。

步骤三：判断平面与坐标轴的位置关系

• 判断平面与 $x$ 轴的位置关系：
  计算平面法向量 $\vec{n}=(0,B,C)$ 与 $x$ 轴方向向量 $\vec{i}=(1,0,0)$ 的点积，根据向量点积公式 $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z$，可得：
  $\vec{n}\cdot\vec{i}=0\times1 + B\times0 + C\times0 = 0$
  因为两向量点积为 $0$，所以平面的法向量与 $x$ 轴方向向量垂直，这意味着平面与 $x$ 轴平行或 $x$ 轴在平面内。
• 判断平面与 $y$ 轴的位置关系：
  计算平面法向量 $\vec{n}=(0,B,C)$ 与 $y$ 轴方向向量 $\vec{j}=(0,1,0)$ 的点积：
  $\vec{n}\cdot\vec{j}=0\times0 + B\times1 + C\times0 = B$
  由于 $B\neq0$，所以平面的法向量与 $y$ 轴方向向量不垂直，即平面不与 $y$ 轴平行也不与 $y$ 轴垂直。
• 判断平面与 $z$ 轴的位置关系：
  计算平面法向量 $\vec{n}=(0,B,C)$ 与 $z$ 轴方向向量 $\vec{k}=(0,0,1)$ 的点积：
  $\vec{n}\cdot\vec{k}=0\times0 + B\times0 + C\times1 = C$
  因为 $C\neq0$，所以平面的法向量与 $z$ 轴方向向量不垂直，即平面不与 $z$ 轴平行也不与 $z$ 轴垂直。

综合以上分析，平面平行于 $y$ 轴。