【资料题】一班40名同学平均身高为170.25cm,平均差为8.5cm,二班身高资料如下表所示: 身高/cm 人数/人 150--160 7 160--170 10 170--180 18 180--190 5 合计 40 要求:比较两个班平均身高的代表性

考查要点：本题主要考查分组数据的平均数和平均差的计算，以及利用平均差比较平均数代表性的能力。

解题核心思路：

1. 平均数的代表性由数据的离散程度决定，离散程度越小（平均差越小），平均数的代表性越强。
2. 对于分组数据，需先计算组中值，再通过组中值计算平均数和平均差。
3. 比较两班的平均差，判断哪个班级的平均身高更具代表性。

破题关键点：

• 组中值的计算：每个区间的中点值（如150-160的组中值为155）。
• 分组数据的平均数公式：$\bar{x} = \frac{\sum (组中值 \times 人数)}{\text{总人数}}$。
• 平均差公式：$\text{平均差} = \frac{\sum (|组中值 - 平均数| \times 人数)}{\text{总人数}}$。

步骤1：计算二班的平均身高

1. 确定组中值：

   • 150-160：155 cm
   • 160-170：165 cm
   • 170-180：175 cm
   • 180-190：185 cm

2. 计算加权总和：
   $\begin{align*} 155 \times 7 &= 1085, \\ 165 \times 10 &= 1650, \\ 175 \times 18 &= 3150, \\ 185 \times 5 &= 925. \end{align*}$
   总和为 $1085 + 1650 + 3150 + 925 = 6810$。

3. 求平均数：
   $\bar{x} = \frac{6810}{40} = 170.25 \, \text{cm}.$

步骤2：计算二班的平均差

1. 计算各组与平均数的绝对离差：

   • $|155 - 170.25| = 15.25$
   • $|165 - 170.25| = 5.25$
   • $|175 - 170.25| = 4.75$
   • $|185 - 170.25| = 14.75$

2. 计算加权总和：
   $\begin{align*} 15.25 \times 7 &= 106.75, \\ 5.25 \times 10 &= 52.5, \\ 4.75 \times 18 &= 85.5, \\ 14.75 \times 5 &= 73.75. \end{align*}$
   总和为 $106.75 + 52.5 + 85.5 + 73.75 = 318.5$。

3. 求平均差：
   $\text{平均差} = \frac{318.5}{40} = 7.9625 \, \text{cm} \approx 7.96 \, \text{cm}.$

步骤3：比较平均差

• 一班平均差：$8.5 \, \text{cm}$
• 二班平均差：$7.96 \, \text{cm}$
  结论：二班的平均差更小，因此二班的平均身高代表性更好。