题目
【题目】3.设f(x)的定义域是 [0,1] 求下列函数的定义域(1) f(e^X) ;(2) f(ln x);(3)f(arctan x);(4)f(cos x).
【题目】3.设f(x)的定义域是 [0,1] 求下列函数的定义域(1) f(e^X) ;(2) f(ln x);(3)f(arctan x);(4)f(cos x).
题目解答
答案
【解析】解（1)由 0≤e^x≤1 得 x≤0 ，即函数 f(e^x) 的定义域为(-∞,0] 2）由0 ≤lnx≤1 得 1≤x≤e ，即函数f(ln z)的定义域为[1,e].3）由0≤ arctan r≤1得 0≤x≤tan1 ，即函数f(arctan z)的定义域为[0,tan 1].4）由0≤ cosx≤1 得(n=0， ±1 ，±2,···)即函数f(cos)的定义域为[|(a_2)],(n=0,±1, ±2 ,··)
解析
步骤 1：求解 f(e^X) 的定义域
由于 f(x) 的定义域是 [0,1]，因此对于 f(e^X)，我们需要 e^X 在 [0,1] 内。即 0 ≤ e^X ≤ 1。由于 e^X 是一个增函数，因此 0 ≤ X ≤ ln(1) = 0。所以 X 的取值范围是 (-∞,0]。
步骤 2：求解 f(ln x) 的定义域
对于 f(ln x)，我们需要 ln x 在 [0,1] 内。即 0 ≤ ln x ≤ 1。由于 ln x 是一个增函数，因此 e^0 ≤ x ≤ e^1，即 1 ≤ x ≤ e。所以 x 的取值范围是 [1,e]。
步骤 3：求解 f(arctan x) 的定义域
对于 f(arctan x)，我们需要 arctan x 在 [0,1] 内。即 0 ≤ arctan x ≤ 1。由于 arctan x 是一个增函数，因此 arctan(0) ≤ x ≤ arctan(1)，即 0 ≤ x ≤ tan(1)。所以 x 的取值范围是 [0,tan 1]。
步骤 4：求解 f(cos x) 的定义域
对于 f(cos x)，我们需要 cos x 在 [0,1] 内。即 0 ≤ cos x ≤ 1。由于 cos x 的周期是 2π，因此在每个周期内，cos x 在 [0,1] 内的 x 的取值范围是 [2nπ, (2n+1)π]，其中 n 是整数。所以 x 的取值范围是 [2nπ, (2n+1)π]，n=0, ±1, ±2, ...
由于 f(x) 的定义域是 [0,1]，因此对于 f(e^X)，我们需要 e^X 在 [0,1] 内。即 0 ≤ e^X ≤ 1。由于 e^X 是一个增函数，因此 0 ≤ X ≤ ln(1) = 0。所以 X 的取值范围是 (-∞,0]。
步骤 2：求解 f(ln x) 的定义域
对于 f(ln x)，我们需要 ln x 在 [0,1] 内。即 0 ≤ ln x ≤ 1。由于 ln x 是一个增函数，因此 e^0 ≤ x ≤ e^1，即 1 ≤ x ≤ e。所以 x 的取值范围是 [1,e]。
步骤 3：求解 f(arctan x) 的定义域
对于 f(arctan x)，我们需要 arctan x 在 [0,1] 内。即 0 ≤ arctan x ≤ 1。由于 arctan x 是一个增函数，因此 arctan(0) ≤ x ≤ arctan(1)，即 0 ≤ x ≤ tan(1)。所以 x 的取值范围是 [0,tan 1]。
步骤 4：求解 f(cos x) 的定义域
对于 f(cos x)，我们需要 cos x 在 [0,1] 内。即 0 ≤ cos x ≤ 1。由于 cos x 的周期是 2π，因此在每个周期内，cos x 在 [0,1] 内的 x 的取值范围是 [2nπ, (2n+1)π]，其中 n 是整数。所以 x 的取值范围是 [2nπ, (2n+1)π]，n=0, ±1, ±2, ...