【题目】3.设f(x)的定义域是 [0,1] 求下列函数的定义域(1) f(e^X) ;(2) f(ln x);(3)f(arctan x);(4)f(cos x).

考查要点：本题主要考查复合函数定义域的求解方法，需要结合原函数的定义域与复合函数内部函数的取值范围进行分析。

解题核心思路：
对于复合函数$f(g(x))$，其定义域需满足原函数$f$的定义域限制，即$g(x)$的取值范围必须包含在$f$的定义域$[0,1]$内。因此，需解不等式$0 \leq g(x) \leq 1$，并结合$g(x)$本身的定义域（如对数函数、反三角函数等）综合求解。

破题关键点：

1. 明确原函数$f$的定义域为$[0,1]$；
2. 分析内部函数$g(x)$的取值范围，确保其输出在$[0,1]$内；
3. 结合$g(x)$的定义域（如$\ln x$要求$x>0$），联立不等式求解$x$的范围。

（1）$f(e^x)$

步骤1：根据$f$的定义域，需满足$0 \leq e^x \leq 1$。
步骤2：解不等式：

• $e^x \geq 0$恒成立；
• $e^x \leq 1 \Rightarrow x \leq 0$。
  结论：定义域为$(-\infty, 0]$。

（2）$f(\ln x)$

步骤1：需满足$0 \leq \ln x \leq 1$，且$\ln x$定义域为$x > 0$。
步骤2：解不等式：

• $0 \leq \ln x \Rightarrow x \geq e^0 = 1$；
• $\ln x \leq 1 \Rightarrow x \leq e^1 = e$。
  结论：定义域为$[1, e]$。

（3）$f(\arctan x)$

步骤1：需满足$0 \leq \arctan x \leq 1$。
步骤2：分析$\arctan x$的单调性：

• $\arctan x$在$[0, +\infty)$单调递增，且$\arctan 0 = 0$，$\arctan (\tan 1) = 1$（注意$1 < \frac{\pi}{2}$）。
  步骤3：解不等式：
• $0 \leq \arctan x \leq 1 \Rightarrow 0 \leq x \leq \tan 1$。
  结论：定义域为$[0, \tan 1]$。

（4）$f(\cos x)$

步骤1：需满足$0 \leq \cos x \leq 1$。
步骤2：分析$\cos x$的周期性：

• $\cos x \geq 0$的解为$x \in \left[ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right]$，其中$k \in \mathbb{Z}$。
  结论：定义域为$\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right]$。