函数y=ln(1+x^2)的凹区间为_____.
题目解答
答案
为了确定函数 $y = \ln(1 + x^2)$ 的凹区间，我们需要分析函数的二阶导数。如果二阶导数为正，函数是凹的；如果二阶导数为负，函数是凸的。 让我们从第一步开始，找到函数的一阶导数。 1. 找到一阶导数 $y'$: $y = \ln(1 + x^2)$ 使用链式法则，我们得到: $y' = \frac{1}{1 + x^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^2}$ 2. 找到二阶导数 $y''$: 为了找到二阶导数，我们使用商法则。商法则表明，如果 $y = \frac{u}{v}$，那么 $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。这里， $u = 2x$ 和 $v = 1 + x^2$。因此， $u' = 2$ 和 $v' = 2x$。应用商法则，我们得到: $y'' = \frac{(2)(1 + x^2) - (2x)(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2 - 4x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2}$ 3. 确定二阶导数为正的区间: 二阶导数 $y'' = \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2}$ 是一个分数，其中分母 $(1 + x^2)^2$ 对于所有实数 $x$ 总是正的。因此， $y''$ 的符号取决于分子 $2(1 - x^2)$。分子 $2(1 - x^2)$ 在 $1 - x^2 > 0$ 时为正，这简化为: $1 > x^2 \quad \text{或} \quad -1 < x < 1$ 因此，二阶导数 $y''$ 在 $-1 < x < 1$ 时为正。 4. 结论: 由于二阶导数 $y''$ 在区间 $(-1, 1)$ 为正，函数 $y = \ln(1 + x^2)$ 在这个区间是凹的。 函数 $y = \ln(1 + x^2)$ 的凹区间是 $\boxed{(-1, 1)}$。
解析
本题考查利用函数的二阶导数来确定函数的凹区间。解题的关键思路是先求出函数的一阶导数，再对一阶导数求导得到二阶导数，最后找出二阶导数大于零的区间，该区间即为函数的凹区间。
- 求一阶导数 $y'$：
已知函数 $y = \ln(1 + x^2)$，根据链式法则，若 $y = \ln(u)$，$u = 1 + x^2$，则 $y'=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。
因为 $\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}$，$\frac{du}{dx}=2x$，所以 $y' = \frac{1}{1 + x^2} \cdot 2x=\frac{2x}{1 + x^2}$。 - 求二阶导数 $y''$：
对于 $y'=\frac{2x}{1 + x^2}$，使用商法则求导。商法则为若 $y=\frac{u}{v}$，则 $y'=\frac{u'v - uv'}{v^2}$。
这里 $u = 2x$，$v = 1 + x^2$，那么 $u' = 2$，$v' = 2x$。
将其代入商法则公式可得：
$\begin{align*}y''&=\frac{(2)(1 + x^2) - (2x)(2x)}{(1 + x^2)^2}\\&=\frac{2 + 2x^2 - 4x^2}{(1 + x^2)^2}\\&=\frac{2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2}\\&=\frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2}\end{align*}$ - 确定二阶导数大于零的区间：
因为分母 $(1 + x^2)^2>0$ 对于任意实数 $x$ 都成立，所以 $y''$ 的符号由分子 $2(1 - x^2)$ 决定。
令 $2(1 - x^2)>0$，即 $1 - x^2>0$，移项可得 $x^2<1$，解这个不等式得 $-1 < x < 1$。
所以当 $x\in(-1,1)$ 时，$y''>0$。 - 得出结论：
由于在区间 $(-1,1)$ 上二阶导数 $y''>0$，根据函数凹凸性的判定定理，函数 $y = \ln(1 + x^2)$ 在区间 $(-1,1)$ 上是凹的。