一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示。如t=0时，质点的状态分别是：(1) x_0=-A；(2) 过平衡位置向正向运动；(3) x_0=A/2且向负向运动；(4) x_0=(A)/(sqrt(2))且向负向运动。试求以上四种情况的振动方程。

本题考查简谐振动方程的知识，简谐振动方程一般形式为$x(t)=A\cos(\omega t + \phi)$，其中$A$为振幅，$\omega$为角频率，$\phi$为初相位。角频率$\omega$与周期$T$的关系为$\omega=\frac{2\pi}{T}$，我们需要根据不同的初始条件来确定初相位$\phi$。

情况(1)：$t = 0$时，$x_0=-A$

将$t = 0$，$x_0=-A$代入简谐振动方程$x(t)=A\cos(\omega t + \phi)$中，可得：
$x(0)=A\cos(\omega\times0 + \phi)=A\cos\phi$
即$A\cos\phi=-A$，两边同时除以$A$（$A\neq0$），得到$\cos\phi=-1$。
根据余弦函数的性质，可知$\phi = \pi$。
又因为$\omega=\frac{2\pi}{T}$，所以该情况下的振动方程为$x(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} t + \pi\right)$。

情况(2)：$t = 0$时，过平衡位置向正向运动

先对简谐振动方程$x(t)=A\cos(\omega t + \phi)$求导，得到速度方程$v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t + \phi)$。
当$t = 0$时，$x(0)=A\cos\phi = 0$，根据余弦函数性质可知$\phi=\pm\frac{\pi}{2}$。
同时，因为此时向正向运动，即$v(0)>0$，将$t = 0$代入速度方程$v(t)=-A\omega\sin(\omega t + \phi)$中，可得$v(0)=-A\omega\sin\phi>0$。
由于$A>0$，$\omega>0$，所以$\sin\phi<0$，那么$\phi = -\frac{\pi}{2}$。
又因为$\omega=\frac{2\pi}{T}$，所以该情况下的振动方程为$x(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} t - \frac{\pi}{2}\right)$。

情况(3)：$t = 0$时，$x_0=\frac{A}{2}$且向负向运动

将$t = 0$，$x_0=\frac{A}{2}$代入简谐振动方程$x(t)=A\cos(\omega t + \phi)$中，可得：
$x(0)=A\cos(\omega\times0 + \phi)=A\cos\phi$
即$A\cos\phi=\frac{A}{2}$，两边同时除以$A$（$A\neq0$），得到$\cos\phi=\frac{1}{2}$，根据余弦函数性质可知$\phi=\pm\frac{\pi}{3}$。
因为向负向运动，即$v(0)<0$，将$t = 0$代入速度方程$v(t)=-A\omega\sin(\omega t + \phi)$中，可得$v(0)=-A\omega\sin\phi<0$。
由于$A>0$，$\omega>0$，所以$\sin\phi>0$，那么$\phi = \frac{\pi}{3}$。
又因为$\omega=\frac{2\pi}{T}$，所以该情况下的振动方程为$x(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} t + \frac{\pi}{3}\right)$。

情况(4)：$t = 0$时，$x_0=\frac{A}{\sqrt{2}}$且向负向运动

将$t = 0$，$x_0=\frac{A}{\sqrt{2}}$代入简谐振动方程$x(t)=A\cos(\omega t + \phi)$中，可得：
$x(0)=A\cos(\omega\times0 + \phi)=A\cos\phi$
即$A\cos\phi=\frac{A}{\sqrt{2}}$，两边同时除以$A$（$A\neq0$），得到$\cos\phi=\frac{1}{\sqrt{2}}$，根据余弦函数性质可知$\phi=\pm\frac{\pi}{4}$。
因为向负向运动，即$v(0)<0$，将$t = 0$代入速度方程$v(t)=-A\omega\sin(\omega t + \phi)$中，可得$v(0)=-A\omega\sin\phi<0$。
由于$A>0$，$\omega>0$，所以$\sin\phi>0$，那么$\phi = \frac{\pi}{4}$。
又因为$\omega=\frac{2\pi}{T}$，所以该情况下的振动方程为$x(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} t + \frac{\pi}{4}\right)$。