设总体 X sim N(0, sigma^2)，X_1, X_2, ldots, X_(10) 是来自总体的样本，当 a= 时，统计量 Y = (a(X_1 + X_2 + X_3 + X_4))/(sqrt(X_5^2 + ... + X_(10)^2)) 服从 t 分布，自由度为(）A. (sqrt(6))/(2), 6B. (2)/(sqrt(6)), 6C. (2)/(sqrt(6)), 1D. (sqrt(6))/(2), 1

本题考查正态分布、$\chi^{2}$分布以及$t$分布分布的性质和构造。解题的关键在于将给定的统计量$Y$转化为$t$分布的标准形式$t=\frac{U{\sqrt{\frac{V}{n}}}$，其中$U\sim N(0,1)$，$V\sim\chi^{2}(n)$，且$U$与$V$相互独立。

步骤一：分析分子部分

已知总体$X\sim N(0,\sigma^{2})$，$X_1,X_2,\ldots,X_{10}$是来自总体的样本，则$X_1,X_2,X_3,X_4$相互独立且都服从$N(0,\sigma^{2})$。
根据正态分布的性质：若$X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^{2})$，$i = 1,2,\cdots,n$相互独立，则$\sum_{i = 1}^{n}X_i\sim N(\sum_{i = 1}^{n}\mu_i,\sum_{i = 1}^{n}\sigma_i^{2})$，可得：
$X_1 + X_2+X_3 + X_4\sim N(0,4\sigma^{2})$
再对其进行标准化，令$U=\frac{X_1 + X_2+X_3 + X_4}{\sqrt{4\sigma^{2}}}=\frac{X_1 + X_2+X_3 + X_4}{2\sigma}$，则$U\sim N(0,1)$。

步骤二：分析分母部分

因为$X_5,X_6,\ldots,X_{10}$相互独立且都服从$N(0,\sigma^{2})$，根据$\chi^{2}$分布的定义：若$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$相互独立且都服从$N(0,1)$，则$\sum_{i = 1}^{n}Z_i^{2}\sim\chi^{2}(n)$。
对$X_5,X_6,\ldots,X_{10}$分别除以$\sigma$进行标准化，得到$\frac{X_5}{\sigma},\frac{X_6}{\sigma},\cdots,\frac{X_{10}}{\sigma}$都服从$N(0,1)$，那么$(\frac{X_5}{\sigma})^2+(\frac{X_6}{\sigma})^2+\cdots+(\frac{X_{10}}{\sigma})^2=\frac{X_5^2 + X_6^2+\cdots+X_{10}^2}/\sigma^{2}\sim\chi^{2}(6)$。
令$V = \frac{X_5^2+X_6^2+\cdots+X_{10}^2}{\sigma^{2}}$，则$V\sim\chi^{2}(6)$。

步骤三：构造$t$分布

根据$t$分布的定义为$t=\frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}$，其中$U\sim N(0,1)$，$V\sim\chi^{2}(n)$，且$U$与$V$相互独立。
已知$U=\frac{X_1 + X_2+X_3 + X_4}{2\sigma}$，$V=\frac{X_5^2+X_6^2+\cdots+X_{10}^2}{\sigma^{2}}$，$n = 6$，则：
$t=\frac{\frac{X_1 + X_2+X_3 + X_4}{2\sigma}}{\sqrt{\frac{\frac{X_5^2+X_6^2+\cdots+X_{10}^2}/\sigma^{2}}{6}}}=\frac{\sqrt{6}(X_1 + X_2+X_3 + X_4)}{2\sqrt{X_5^2+X_6^2+\cdots+X_{10}^2}}$。
对比统计量$Y = \frac{a(X_1 + X_2+X_3 + X_4)}{\sqrt{X_5^2+\cdots+X_{10}^2}}$，可得$a=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}$，自由度为$6$。