827在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳介质相对介电常数为,金属球带电Q.试求电介质内、外的场强;(2)电介质层内、外的电势(3)金属球的电势

步骤 1：确定电介质内外的场强
在电介质内外，利用高斯定理求解场强。高斯定理表达式为：$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}$，其中$Q_{\text{enc}}$是高斯面内所包围的总电荷量，$\epsilon_0$是真空介电常数。

步骤 2：电介质内场强
在电介质内，即$R_1 < r < R_2$，高斯面内所包围的总电荷量为$Q$，因此电介质内场强$E_{\text{内}}$为：
\[ E_{\text{内}} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} \]

步骤 3：电介质外场强
在电介质外，即$r > R_2$，高斯面内所包围的总电荷量为$Q$，因此电介质外场强$E_{\text{外}}$为：
\[ E_{\text{外}} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} \]

步骤 4：电介质层内、外的电势
电势$V$可以通过电场$E$的积分求得，即$V = -\int \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}$。对于电介质内，电势$V_{\text{内}}$为：
\[ V_{\text{内}} = -\int_{R_1}^{r} E_{\text{内}} dr = -\int_{R_1}^{r} \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} dr = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R_1} \right) \]
对于电介质外，电势$V_{\text{外}}$为：
\[ V_{\text{外}} = -\int_{R_2}^{r} E_{\text{外}} dr = -\int_{R_2}^{r} \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} dr = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R_2} \right) \]

步骤 5：金属球的电势
金属球的电势$V_{\text{球}}$为：
\[ V_{\text{球}} = V_{\text{内}}(R_1) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_1} \right) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R_1} \]