题目
设五阶行列式D5=|(1)&(0)&(0)&(2)&(0)3)&(1)&(4)&(5)&(0)6)&(0)&(1)&(7)&(0)0)&(0)&(0)&(1)&(0)8)&(9)&(10)&(11)&(1)|，则D5= ____
设五阶行列式D5=$|\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}&{2}&{0}\\{3}&{1}&{4}&{5}&{0}\\{6}&{0}&{1}&{7}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{8}&{9}&{10}&{11}&{1}\end{array}|$，则D5= ____
题目解答
答案
解：由题意，可知：
$|\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}&{2}&{0}\\{3}&{1}&{4}&{5}&{0}\\{6}&{0}&{1}&{7}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{8}&{9}&{10}&{11}&{1}\end{array}|$=（-1）5+5$|\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}&{2}\\{3}&{1}&{4}&{5}\\{6}&{0}&{1}&{7}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}&{2}\\{3}&{1}&{4}&{5}\\{6}&{0}&{1}&{7}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{array}|$=（-1）4+4$|\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}\\{3}&{1}&{4}\\{6}&{0}&{1}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}\\{3}&{1}&{4}\\{6}&{0}&{1}\end{array}|$=（-1）1+1$|\begin{array}{l}{1}&{4}\\{0}&{1}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{1}&{4}\\{0}&{1}\end{array}|$=1×1-0×4=1．
故答案为：1．
$|\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}&{2}&{0}\\{3}&{1}&{4}&{5}&{0}\\{6}&{0}&{1}&{7}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{8}&{9}&{10}&{11}&{1}\end{array}|$=（-1）5+5$|\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}&{2}\\{3}&{1}&{4}&{5}\\{6}&{0}&{1}&{7}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}&{2}\\{3}&{1}&{4}&{5}\\{6}&{0}&{1}&{7}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{array}|$=（-1）4+4$|\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}\\{3}&{1}&{4}\\{6}&{0}&{1}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}\\{3}&{1}&{4}\\{6}&{0}&{1}\end{array}|$=（-1）1+1$|\begin{array}{l}{1}&{4}\\{0}&{1}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{1}&{4}\\{0}&{1}\end{array}|$=1×1-0×4=1．
故答案为：1．
解析
本题考查行列式的展开计算，特别是利用余子式展开法简化行列式的计算。关键在于选择含零较多的行或列进行展开，从而逐步降低行列式的阶数。
解题核心思路：
- 观察行列式的结构，优先选择含零较多的行或列展开。
- 递归展开：每次展开后得到的子行列式继续按上述方法简化，直到降为二阶行列式直接计算。
破题关键点：
- 第五列（第五行第五列）仅有一个非零元素
1，优先展开。 - 每次展开后，子行列式的最后一列或最后一行均存在类似结构，可继续简化。
第一次展开（五阶→四阶）
选择第五列展开，仅第五行第五列元素1非零：
$D_5 = (-1)^{5+5} \cdot M_{55} = 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\3 & 1 & 4 & 5 \\6 & 0 & 1 & 7 \\0 & 0 & 0 & 1\end{vmatrix}$
第二次展开（四阶→三阶）
选择第四列展开，仅第四行第四列元素1非零：
$\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & 2 \\3 & 1 & 4 & 5 \\6 & 0 & 1 & 7 \\0 & 0 & 0 & 1\end{vmatrix} = (-1)^{4+4} \cdot M_{44} = 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\3 & 1 & 4 \\6 & 0 & 1\end{vmatrix}$
第三次展开（三阶→二阶）
选择第三列展开，仅第三行第三列元素1非零：
$\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\3 & 1 & 4 \\6 & 0 & 1\end{vmatrix} = (-1)^{3+3} \cdot M_{33} = 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & 0 \\3 & 1\end{vmatrix}$
计算二阶行列式
$\begin{vmatrix}1 & 0 \\3 & 1\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 3 = 1$