题目

有一劲度系数为k的轻弹簧,原长为l_0,将它吊在天花板上.当它下端挂一托盘平衡时,其长度变为l_1.然后在托盘中放一重物,弹簧长度变为l_2,则由l_1伸长至l_2的过程中,弹性力所作的功为[]A. -int_(l_1)^l_2 kx dxB. int_(l_1)^l_2 kx dxC. -int_(l_2-l_0)^l_1-l_0 kx dxD. int_(l_1-l_0)^l_2-l_0 kx dx

有一劲度系数为$k$的轻弹簧,原长为$l_0$,将它吊在天花板上.当它下端挂一托盘平衡时,其长度变为$l_1$.然后在托盘中放一重物,弹簧长度变为$l_2$,则由$l_1$伸长至$l_2$的过程中,弹性力所作的功为[]

A. $-\int_{l_1}^{l_2} kx dx$

B. $\int_{l_1}^{l_2} kx dx$

C. $-\int_{l_2-l_0}^{l_1-l_0} kx dx$

D. $\int_{l_1-l_0}^{l_2-l_0} kx dx$

题目解答

答案

C. $-\int_{l_2-l_0}^{l_1-l_0} kx dx$

解析

本题考查胡克定律以及变力做功的计算。解题的关键在于明确弹性力的表达式，确定积分变量和积分区间，然后根据功的定义式计算弹性力所做的功。

  1. 明确弹性力表达式：
    • 根据胡克定律，弹簧的弹性力$F = kx$，其中$x$是弹簧的形变量，即弹簧的实际长度与原长的差值。
  2. 确定积分变量和积分区间：
    • 我们要计算从弹簧长度为$l_1$伸长至$l_2$的过程中弹性力所做的功。
    • 当弹簧长度为$l_1$时，形变量$x_1 = l_1 - l_0$；当弹簧长度为$l_2$时，形变量$x_2 = l_2 - l_0$。
    • 弹性力是变力，根据功的定义$W=\int_{x_1}^{x_2}Fdx$，这里$F = kx$，所以弹性力做功$W=\int_{x_1}^{x_2} kx dx$。
    • 由于弹性力方向与弹簧伸长方向相反，弹性力做负功，所以$W =-\int_{x_1}^{x_2} kx dx$。
    • 将$x_1 = l_1 - l_0$，$x_2 = l_2 - l_0$代入上式，可得$W =-\int_{l_1 - l_0}^{l_2 - l_0} kx dx$。