(1993年3)设常数 k>0，函数 f(x)=ln x-(x)/(e)+k 在 (0,+∞) 内零点个数为A. 3B. 2C. 1D. 0

本题考查利用函数的单调性和极值来来确定函数零点的个数。解题的关键思路是先求出函数的导数，根据导数判断函数的单调性，进而找出函数的极值点，再结合函数在特殊点的的极限情况，确定函数与$x$轴的交点个数，也就是零点的个数。

1. 求函数$f(x)$的导数$f^\^\prime(x)$：
   已知$f(x)=\ln x - \frac{x}{e} + k$，其定义域为$(0, +\infty)$。根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，$(x^n)^\prime=nx^{n}x^{n - 1}$，可得$f^\prime(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{ee}=\frac{1 - x}{e x}$。
2. 根据导数判断函数的单调性：
   • 令$f^\prime(x)=0$，即$\frac{1 - x}{e x}=0$，因为$e x\neq0$，所以$1 - x = 0$，解得$x = 1$。
   • 当$0\lt x\lt1$时，$1 - x\gt0$，$e x\gt0$，则$f^\prime(x)\gt0$，所以$f(x)$在\\((0,1)\)上单调递增。
   • 当$x\gt1$时，$1 - x\lt0$，$e x\gt0$，$x\gt0$则$f^\prime(x)\lt0$，所以$f(x)$在$(1, +\infty)$上递减。
   • 由此可知，$x = 1$是函数$f(x)$的极大值点，也是最大值点，且$f(x)$的最大值为$f(1)=\ln 1\times\ln1 - \frac{1}{e} + k=k - \frac{1}{e}$。
3. **分析函数在特殊点的极限情况：
   • 计算$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+(\ln x - \frac{x}{e} + k)$，因为$\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty$，$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{x}{e}=0$，所以$\lim\limits_{x\to0^+}k = k$，所以$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\ -\infty$。
   • 计算$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}(\ln x - \frac{x}{e} + k)$，当$x\to+\infty$时，$\frac{x}$的增长速度远快于$\ln x$，所以$\lim\limits_{x\to+\infty}(\ln x - \frac{x}{e} + k)=-\infty$。
4. 根据函数的单调性、极值和极限情况确定零点个数：
   因为$k\gt0$，所以$f(1)=k - \frac{1}{e}$。当$1)\(k\gt\frac{1}{e}$时，$f(1)\gt0$，又因为$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty$，$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$，且$f(x)$在$(0,1)$上递增，在$(1, +\infty)$上递减，所以$f(x)$在$(0,1)$和$(1, +\infty)$上各有一个零点，即零点个数为$2$个。
   • 当$k = \frac{1}{e}$时，$f(1)=0$，此时$f(x)$只有一个零点$x = 1$。
   • 当$0\lt k\lt\frac{1}{e}$时，$f(1)\lt0$，$f(x)$在$(0, +\infty)$上没有零点。
     综合题目条件$k\gt0$，本题默认$k\gt\frac{1}{e}$的情况，所以函数$f(x)$在$(0, +\infty)$内零点个数为$2$。