题目
2.一质量为m的小球,连接在长度为L的轻绳末端,轻绳另一端固定在O点,小-|||-球在竖直平面内绕O点做半径为L的圆周运动,底端为N点,顶端为M点。-|||-(1)若使小球能够做完整的圆周运动,则在最低点时的速度大小 vN=?-|||-(2)若 _(N)=sqrt (5gL), 求轻绳摆到如图3.9所示位置A点, alpha =(60)^circ 时,小球的速度-|||-大小。-|||-M-|||-UM A-|||-a-|||-0 L 、-|||-! UN-|||-N-|||-图3.9
题目解答
答案
【答案】
（1）
；（2）
；（2）【解析】
（1）恰好能做完整的圆周运动时，在最高点
，可得
，从最低点到最高点，
，解得
；
，可得，从最低点到最高点，，解得；（2）根据动能定理，
，可得
，可得解析
（1）恰好能做完整的圆周运动时，在最高点${m}^{2}$ 2 ma=，可得，从最低点到最高点，$-2mgL=\dfrac {m{v}^{2}}{2}-\dfrac {m{v}^{2}}{2}$，解得U . $597$；（2）根据动能定理，-mg (L+Lc $-a-b-\dfrac {m{{v}_{A}}^{2}}{2}-\dfrac {m{v}^{2}}{2}$，可得A= $297$
【解析】
步骤 1：确定小球在最高点的最小速度
在最高点，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即 $mg = \frac{mv^2}{L}$，解得 $v = \sqrt{gL}$。这是小球在最高点的最小速度，以保证小球能够完成圆周运动。
步骤 2：计算最低点的速度
从最低点到最高点，小球的机械能守恒。设最低点的速度为 $v_N$，则有 $\frac{1}{2}mv_N^2 = \frac{1}{2}mv^2 + 2mgL$，代入 $v = \sqrt{gL}$，解得 $v_N = \sqrt{5gL}$。
步骤 3：计算在 $\alpha = 60^\circ$ 时的速度
从最低点到 $\alpha = 60^\circ$ 的位置，小球的机械能守恒。设此时的速度为 $v_A$，则有 $\frac{1}{2}mv_N^2 = \frac{1}{2}mv_A^2 + mgL(1 - \cos 60^\circ)$，代入 $v_N = \sqrt{5gL}$，解得 $v_A = \sqrt{4gL}$。
【解析】
步骤 1：确定小球在最高点的最小速度
在最高点，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即 $mg = \frac{mv^2}{L}$，解得 $v = \sqrt{gL}$。这是小球在最高点的最小速度，以保证小球能够完成圆周运动。
步骤 2：计算最低点的速度
从最低点到最高点，小球的机械能守恒。设最低点的速度为 $v_N$，则有 $\frac{1}{2}mv_N^2 = \frac{1}{2}mv^2 + 2mgL$，代入 $v = \sqrt{gL}$，解得 $v_N = \sqrt{5gL}$。
步骤 3：计算在 $\alpha = 60^\circ$ 时的速度
从最低点到 $\alpha = 60^\circ$ 的位置，小球的机械能守恒。设此时的速度为 $v_A$，则有 $\frac{1}{2}mv_N^2 = \frac{1}{2}mv_A^2 + mgL(1 - \cos 60^\circ)$，代入 $v_N = \sqrt{5gL}$，解得 $v_A = \sqrt{4gL}$。