半径为 R 的圆轮在水平直线轨道上作纯滚动，某瞬时轮心的速度为 v，加速度为 a。则该瞬时轮缘上与水平直径交点 A 的速度的大小为 ____________，加速度的大小为 ____________。

本题考查刚体平面运动中纯滚动的速度和加速度分析。解题思路是先根据纯滚动条件得到轮心速度与角速度、轮心加速度与角加速度的关系，再分别对轮缘上点$A$进行速度和加速度的合成分析。

速度分析

• 纯滚动条件：圆轮作纯滚动时，轮心速度$v$与角速度$\omega$满足$v = R\omega$，轮心加速度$a$与角加速度$\alpha$满足$a = R\alpha$。
• 点$A$的速度合成：点$A$的速度$\vec{v}_A$等于轮心$O$的速度$\vec{v}_O$与点$A$相对于轮心$O$的速度$\vec{v}_{A/O}$的矢量和，即$\vec{v}_A=\vec{v}_O+\vec{v}_{A/O}$。
  • 轮心$O$的速度$\vec{v}_O = v\hat{i}$（水平向右为$x$轴正方向）。
  • 点$A$相对于轮心$O$的速度$\vec{v}_{A/O}$，其大小为$v_{A/O}=R\omega$，由$v = R\omega$可知$v_{A/O}=v$，方向水平向右，即$\vec{v}_{A/O}=v\hat{i}$。
  • 所以$\vec{v}_A=\vec{v}_O+\vec{v}_{A/O}=v\hat{i}+v\hat{i}=2v\hat{i}$，则点$A$速度的大小为$|\vec{v}_A| = 2v$。

加速度分析

• 点$A$的加速度合成：点$A$的加速度$\vec{a}_A$等于轮心$O$的加速度$\vec{a}_O$、点$A$相对于轮心$O$的切向加速度$\vec{a}_{A/O}^t$和法向加速度$\vec{a}_{A/O}^n$的矢量和，即$\vec{a}_A=\vec{a}_O+\vec{a}_{A/O}^t+\vec{a}_{A/O}^n$。
  • 轮心$O$的加速度$\vec{a}_O = a\hat{i}$（水平向右为$x$轴正方向）。
  • 点$A$相对于轮心$O$的切向加速度$\vec{a}_{A/O}^t$，其大小为$a_{A/O}^t=R\alpha$，由$a = R\alpha$可知$a_{A/O}^t=a$，方向水平向右，即$\vec{a}_{A/O}^t=a\hat{i}$。
  • 点$A$相对于轮心$O$的法向加速度$\vec{a}_{A/O}^n$，其大小为$a_{A/O}^n=\frac{v_{A/O}^2}{R}$，因为$v_{A/O}=v$，所以$a_{A/O}^n=\frac{v^2}{R}$，方向竖直向下，即$\vec{a}_{A/O}^n=-\frac{v^2}{R}\hat{j}$。
  • 则$\vec{a}_A=\vec{a}_O+\vec{a}_{A/O}^t+\vec{a}_{A/O}^n=a\hat{i}+a\hat{i}-\frac{v^2}{R}\hat{j}=2a\hat{i}-\frac{v^2}{R}\hat{j}$。
• 加速度大小：根据矢量模长公式，$\vec{a}_A$的大小为$|\vec{a}_A|=\sqrt{(2a)^2+\left(-\frac{v^2}{R}\right)^2}=\sqrt{4a^2+\frac{v^4}{R^2}}$。