题目
等压过程中吸收相同热量的氢气和氦气，其内能增量之比为( ).
等压过程中吸收相同热量的氢气和氦气，其内能增量之比为( ).
题目解答
答案
解：根据内能的公式，内能增量等于吸收的热量 q。在等压过程中，有
，由于氢气和氦气在吸收相同热量的条件下，体积增量一样，即
。根据理想气体状态方程
，可以得到
，故有
。由于内能增量之比为
，故只需要比较氢气和氦气的热容比即可。根据热力学理论，对于单原子分子的气体，热容比为
，
是绝热指数。对于氢气和氦气而言，它们都是单原子分子气体，故它们的热容比相同，即
，因此，内能增量之比等于绝热指数之比，其内能增量之比为1。
解析
步骤 1：确定等压过程中的内能增量公式
在等压过程中，内能的增量等于吸收的热量减去对外做的功。由于题目中提到吸收相同热量，我们可以直接使用内能增量公式$\Delta U = q - W$，其中$q$是吸收的热量，$W$是对外做的功。在等压过程中，对外做的功$W = P\Delta V$，其中$P$是压强，$\Delta V$是体积变化量。因此，内能增量公式可以写为$\Delta U = q - P\Delta V$。
步骤 2：应用理想气体状态方程
根据理想气体状态方程$PV = nRT$，可以得到体积变化量$\Delta V = \frac{nR\Delta T}{P}$，其中$n$是摩尔数，$R$是理想气体常数，$\Delta T$是温度变化量。将这个表达式代入内能增量公式中，得到$\Delta U = q - nR\Delta T$。
步骤 3：比较氢气和氦气的内能增量
由于氢气和氦气在等压过程中吸收相同热量，即$q_H = q_{He}$，且它们都是单原子分子气体，因此它们的摩尔热容比相同，即${C}_{P,H} = {C}_{P,He}$。根据内能增量公式$\Delta U = n{C}_{V}\Delta T$，其中${C}_{V}$是摩尔定容热容，可以得到氢气和氦气的内能增量之比为$\frac{\Delta U_H}{\Delta U_{He}} = \frac{n_H{C}_{V,H}\Delta T_H}{n_{He}{C}_{V,He}\Delta T_{He}}$。由于氢气和氦气的摩尔数和温度变化量相同，因此内能增量之比等于摩尔定容热容之比，即$\frac{\Delta U_H}{\Delta U_{He}} = \frac{{C}_{V,H}}{{C}_{V,He}}$。对于单原子分子气体，${C}_{V} = \frac{3}{2}R$，因此氢气和氦气的内能增量之比为1。
在等压过程中，内能的增量等于吸收的热量减去对外做的功。由于题目中提到吸收相同热量，我们可以直接使用内能增量公式$\Delta U = q - W$，其中$q$是吸收的热量，$W$是对外做的功。在等压过程中，对外做的功$W = P\Delta V$，其中$P$是压强，$\Delta V$是体积变化量。因此，内能增量公式可以写为$\Delta U = q - P\Delta V$。
步骤 2：应用理想气体状态方程
根据理想气体状态方程$PV = nRT$，可以得到体积变化量$\Delta V = \frac{nR\Delta T}{P}$，其中$n$是摩尔数，$R$是理想气体常数，$\Delta T$是温度变化量。将这个表达式代入内能增量公式中，得到$\Delta U = q - nR\Delta T$。
步骤 3：比较氢气和氦气的内能增量
由于氢气和氦气在等压过程中吸收相同热量，即$q_H = q_{He}$，且它们都是单原子分子气体，因此它们的摩尔热容比相同，即${C}_{P,H} = {C}_{P,He}$。根据内能增量公式$\Delta U = n{C}_{V}\Delta T$，其中${C}_{V}$是摩尔定容热容，可以得到氢气和氦气的内能增量之比为$\frac{\Delta U_H}{\Delta U_{He}} = \frac{n_H{C}_{V,H}\Delta T_H}{n_{He}{C}_{V,He}\Delta T_{He}}$。由于氢气和氦气的摩尔数和温度变化量相同，因此内能增量之比等于摩尔定容热容之比，即$\frac{\Delta U_H}{\Delta U_{He}} = \frac{{C}_{V,H}}{{C}_{V,He}}$。对于单原子分子气体，${C}_{V} = \frac{3}{2}R$，因此氢气和氦气的内能增量之比为1。