题目
半径为R,质量为M的均匀圆盘能绕其水平轴转动,一细绳绕在圆盘的边缘,绳上挂质量为m的重物,使圆盘得以转动。(1)求圆盘的角加速度;(2)当物体从静止出发下降距离h时,物体和圆盘的动能各为多少?
半径为R,质量为M的均匀圆盘能绕其水平轴转动,一细绳绕在圆盘的边缘,绳上挂质量为m的重物,使圆盘得以转动。
(1)求圆盘的角加速度;
(2)当物体从静止出发下降距离h时,物体和圆盘的动能各为多少?
题目解答
答案
解:(1)
(2) 物体作匀变速直线运动,
,物体的动能:
根据机械能守恒,圆盘的动能:
解析
步骤 1：确定圆盘的转动惯量
圆盘的转动惯量为 $I = \frac{1}{2}MR^2$，其中 $M$ 是圆盘的质量，$R$ 是圆盘的半径。
步骤 2：分析重物的受力情况
重物受到重力 $mg$ 和绳子的拉力 $T$ 的作用，根据牛顿第二定律，有 $mg - T = ma$，其中 $a$ 是重物的加速度。
步骤 3：分析圆盘的转动情况
绳子对圆盘的拉力 $T$ 产生一个力矩，使圆盘转动，根据转动定律，有 $TR = I\beta$，其中 $\beta$ 是圆盘的角加速度。
步骤 4：联立求解
联立步骤 2 和步骤 3 的方程，可以求出圆盘的角加速度 $\beta$ 和重物的加速度 $a$。
步骤 5：计算物体和圆盘的动能
物体的动能为 $E_{k1} = \frac{1}{2}mv^2$，其中 $v$ 是物体的速度，可以通过 $v^2 = 2ah$ 求出。圆盘的动能为 $E_{k2} = \frac{1}{2}I\beta^2$。
圆盘的转动惯量为 $I = \frac{1}{2}MR^2$，其中 $M$ 是圆盘的质量，$R$ 是圆盘的半径。
步骤 2：分析重物的受力情况
重物受到重力 $mg$ 和绳子的拉力 $T$ 的作用，根据牛顿第二定律，有 $mg - T = ma$，其中 $a$ 是重物的加速度。
步骤 3：分析圆盘的转动情况
绳子对圆盘的拉力 $T$ 产生一个力矩，使圆盘转动，根据转动定律，有 $TR = I\beta$，其中 $\beta$ 是圆盘的角加速度。
步骤 4：联立求解
联立步骤 2 和步骤 3 的方程，可以求出圆盘的角加速度 $\beta$ 和重物的加速度 $a$。
步骤 5：计算物体和圆盘的动能
物体的动能为 $E_{k1} = \frac{1}{2}mv^2$，其中 $v$ 是物体的速度，可以通过 $v^2 = 2ah$ 求出。圆盘的动能为 $E_{k2} = \frac{1}{2}I\beta^2$。