题目

(16分)在光滑水平面上放置一质量为 M=4kg-|||-的木板,木板左端放置一质量为 _(3)=(k)_(3) 的小物-|||-块,距木板右端 d=6m 处放置一质量也为 m=-|||-2kg的铁块,现对小物块施加一大小为 F=10N-|||-的拉力,其方向与水平方向的夹角为 theta =(53)^circ ,如-|||-图所示。拉力F作用一段时间后,木板与铁块发-|||-生弹性碰撞(碰撞时间极短),此时立即撤去拉力-|||-F,在此后的运动过程中,小物块始终未滑离木-|||-板。已知小物块与木板间的动摩擦因数为 mu =-|||-0.25 ,重力加速度大小为 =10m/(s)^2 sin (53)^circ =-|||-0.8 cos (53)^circ =0.6 。求:-|||-(1)拉力F作用的时间;-|||-(2)木板的最小长度。-|||-F-|||-d

题目解答

答案


解析

考查要点：本题综合考查牛顿运动定律、碰撞动量守恒、相对运动及摩擦力做功的应用。
解题思路：

  1. 第一问：通过分析拉力作用下小物块与木板的受力，分别求出两者的加速度，利用木板位移$d=6\ \text{m}$建立方程求解时间$t_1$。
  2. 第二问：分阶段计算：
    • 碰撞前：求小物块和木板的速度及位移；
    • 碰撞过程：应用动量守恒和机械能守恒求碰后速度；
    • 碰撞后：分析小物块与木板的相对滑动，通过速度相等条件求相对位移，最终确定木板最小长度。

关键点：

  • 摩擦力方向随相对运动方向变化；
  • 弹性碰撞中动量和动能守恒的联立求解；
  • 相对位移需分阶段累加。

第（1）题

分析小物块的加速度

拉力水平分量为$F\cos\theta$，竖直分量为$F\sin\theta$。
竖直方向平衡：
$F_N + F\sin\theta = mg \implies F_N = mg - F\sin\theta$
摩擦力：
$f = \mu F_N = \mu(mg - F\sin\theta)$
水平方向牛顿第二定律：
$F\cos\theta - f = ma_1$
联立解得：
$a_1 = \frac{F\cos\theta - \mu(mg - F\sin\theta)}{m} = 1.5\ \text{m/s}^2$

分析木板的加速度

木板受摩擦力$f$，由牛顿第二定律：
$f = Ma_2 \implies a_2 = \frac{\mu(mg - F\sin\theta)}{M} = 0.75\ \text{m/s}^2$

求拉力作用时间

木板位移$d = \frac{1}{2}a_2 t_1^2$，代入数据得：
$t_1 = \sqrt{\frac{2d}{a_2}} = 4\ \text{s}$

第（2）题

碰撞前的速度与位移

小物块：
$v_1 = a_1 t_1 = 6\ \text{m/s},\quad x_1 = \frac{1}{2}a_1 t_1^2 = 12\ \text{m}$
木板：
$v_2 = a_2 t_1 = 3\ \text{m/s},\quad x_2 = d = 6\ \text{m}$

碰撞后的速度

动量守恒：
$Mv_2 = Mv_3 + mv_4$
机械能守恒：
$\frac{1}{2}Mv_2^2 = \frac{1}{2}Mv_3^2 + \frac{1}{2}mv_4^2$
联立解得：
$v_3 = 1\ \text{m/s},\quad v_4 = 4\ \text{m/s}$

碰撞后的相对滑动

小物块加速度：
$a_1' = \mu g = 2.5\ \text{m/s}^2$
木板加速度：
$a_2' = \frac{\mu mg}{M} = 1.25\ \text{m/s}^2$
速度相等时间：
$v_1 - a_1't_2 = v_3 + a_2't_2 \implies t_2 = \frac{4}{3}\ \text{s}$
相对位移：
$\Delta x_2 = \frac{v_1 + v}{2}t_2 - \frac{v_3 + v}{2}t_2 = \frac{10}{3}\ \text{m}$

木板最小长度

$L = (x_1 - x_2) + \Delta x_2 = \frac{28}{3}\ \text{m}$