题目
一质点在x轴上作简谐振动,振幅A=4cm,周期T=2s,其平衡位置取作坐标原点.若t=0时刻质点第一次通过x=-2cm处,且向x轴负方向运动,则质点第二次通过x=-2cm处的时刻为( )A. 1sB. (2/3)sC. (4/3)sD. 2s
一质点在x轴上作简谐振动,振幅A=4cm,周期T=2s,其平衡位置取作坐标原点.若t=0时刻质点第一次通过x=-2cm处,且向x轴负方向运动,则质点第二次通过x=-2cm处的时刻为( )
A. 1s
B. (2/3)s
C. (4/3)s
D. 2s
题目解答
答案
B. (2/3)s
解析
步骤 1：确定简谐振动的方程
简谐振动的方程可以表示为：\(x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\)，其中\(A\)是振幅，\(\omega\)是角频率，\(\phi\)是初相位。已知振幅\(A = 4cm\)，周期\(T = 2s\)，所以角频率\(\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\) rad/s。
步骤 2：确定初相位
根据题意，\(t=0\)时，质点第一次通过\(x=-2cm\)处，且向x轴负方向运动。将\(x=-2cm\)代入方程，得到\(-2 = 4 \cos(\phi)\)，解得\(\cos(\phi) = -\frac{1}{2}\)。因为质点向x轴负方向运动，所以初相位\(\phi = \frac{2\pi}{3}\)。
步骤 3：确定第二次通过x=-2cm处的时刻
第二次通过\(x=-2cm\)处，意味着\(x(t) = -2cm\)，代入方程得到\(-2 = 4 \cos(\pi t + \frac{2\pi}{3})\)，解得\(\cos(\pi t + \frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\)。因为\(\cos(\theta) = -\frac{1}{2}\)的解为\(\theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)或\(\theta = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\)，\(k\)为整数。所以\(\pi t + \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}\)，解得\(t = \frac{2}{3}s\)。
简谐振动的方程可以表示为：\(x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\)，其中\(A\)是振幅，\(\omega\)是角频率，\(\phi\)是初相位。已知振幅\(A = 4cm\)，周期\(T = 2s\)，所以角频率\(\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\) rad/s。
步骤 2：确定初相位
根据题意，\(t=0\)时，质点第一次通过\(x=-2cm\)处，且向x轴负方向运动。将\(x=-2cm\)代入方程，得到\(-2 = 4 \cos(\phi)\)，解得\(\cos(\phi) = -\frac{1}{2}\)。因为质点向x轴负方向运动，所以初相位\(\phi = \frac{2\pi}{3}\)。
步骤 3：确定第二次通过x=-2cm处的时刻
第二次通过\(x=-2cm\)处，意味着\(x(t) = -2cm\)，代入方程得到\(-2 = 4 \cos(\pi t + \frac{2\pi}{3})\)，解得\(\cos(\pi t + \frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\)。因为\(\cos(\theta) = -\frac{1}{2}\)的解为\(\theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)或\(\theta = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\)，\(k\)为整数。所以\(\pi t + \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}\)，解得\(t = \frac{2}{3}s\)。