1.设 (x)=dfrac (1)(1-{x)^2}, 求 (-x),f[ f(x)] ,f[ dfrac (1)(f(x))]

考查要点：本题主要考查函数的复合运算及定义域的求解，涉及代数式的化简与分式运算。

解题思路：

1. 直接代入法：对于$f(-x)$，直接将$x$替换为$-x$；
2. 复合函数运算：对于$f(f(x))$和$f\left[\dfrac{1}{f(x)}\right]$，需逐步代入并化简；
3. 定义域分析：注意原函数及复合过程中分母不为零的条件，综合所有限制条件。

关键点：

• 符号处理：$f(-x)$中$x^2$与$(-x)^2$相同；
• 分式化简：复合函数运算后需展开并约分；
• 定义域叠加：复合函数需同时满足原函数和中间步骤的定义域限制。

1. 求$f(-x)$

将$x$替换为$-x$：
$f(-x) = \dfrac{1}{1 - (-x)^2} = \dfrac{1}{1 - x^2}$
定义域：$x \neq \pm 1$（分母$1 - x^2 \neq 0$）。

2. 求$f(f(x))$

将$f(x)$代入$f$中：
$f(f(x)) = f\left(\dfrac{1}{1 - x^2}\right) = \dfrac{1}{1 - \left(\dfrac{1}{1 - x^2}\right)^2}$
化简分母：
$1 - \dfrac{1}{(1 - x^2)^2} = \dfrac{(1 - x^2)^2 - 1}{(1 - x^2)^2} = \dfrac{x^4 - 2x^2}{(1 - x^2)^2}$
因此：
$f(f(x)) = \dfrac{(1 - x^2)^2}{x^4 - 2x^2} = \dfrac{(1 - x^2)^2}{x^2(x^2 - 2)}$
定义域：

• 原函数要求$x \neq \pm 1$；
• 分母$x^2(x^2 - 2) \neq 0$，即$x \neq 0$且$x \neq \pm \sqrt{2}$；
• 综上：$x \neq \pm 1$，$x \neq 0$，$x \neq \pm \sqrt{2}$。

3. 求$f\left[\dfrac{1}{f(x)}\right]$

先计算$\dfrac{1}{f(x)}$：
$\dfrac{1}{f(x)} = 1 - x^2$
代入$f$中：
$f(1 - x^2) = \dfrac{1}{1 - (1 - x^2)^2}$
化简分母：
$1 - (1 - 2x^2 + x^4) = 2x^2 - x^4 = x^2(2 - x^2)$
因此：
$f\left[\dfrac{1}{f(x)}\right] = \dfrac{1}{x^2(2 - x^2)}$
定义域：

• 原函数要求$x \neq \pm 1$；
• 分母$x^2(2 - x^2) \neq 0$，即$x \neq 0$且$x \neq \pm \sqrt{2}$；
• 综上：$x \neq \pm 1$，$x \neq 0$，$x \neq \pm \sqrt{2}$。