题目
有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于T2。
有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于T2。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定独立振动模式
在二维晶格中，独立振动模式的数量与波矢空间中的波矢数量成正比。在波矢空间中，波矢的分布密度与波矢的大小成正比，即在k到k+dk之间的独立振动模式对应于平面中半径n到n+dn间圆环的面积$2\pi ndn$。由于晶格的面积为S，波矢空间的面积为$2\pi S$，因此在k到k+dk之间的独立振动模式数为$\dfrac{2\pi ndn}{2\pi S}=\dfrac{ndn}{S}$。
步骤 2：计算振动模式密度
在波矢空间中，波矢的分布密度与波矢的大小成正比，即$\rho(k)dk=\dfrac{ndn}{S}$。由于波矢k与频率$\omega$成正比，即$k=\dfrac{\omega}{v}$，因此振动模式密度为$\rho(\omega)d\omega=\dfrac{3S\omega}{2\pi v^2}d\omega$。
步骤 3：计算晶格的总能量
晶格的总能量为所有独立振动模式的能量之和，即$E=\int_0^{\omega_D}\dfrac{3S\omega}{2\pi v^2}d\omega\cdot\dfrac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_BT}-1}$，其中$\omega_D$为德拜频率。在低温极限下，$e^{\hbar\omega/k_BT}\gg1$，因此$E\approx\int_0^{\omega_D}\dfrac{3S\omega}{2\pi v^2}d\omega\cdot\hbar\omega\cdot\dfrac{k_BT}{\hbar\omega}=\dfrac{3S}{2\pi v^2}\cdot\dfrac{k_BT}{2}\cdot\omega_D^2$。
步骤 4：计算比热
比热为晶格的总能量对温度的导数，即$C=\dfrac{dE}{dT}=\dfrac{3S}{2\pi v^2}\cdot\dfrac{k_B}{2}\cdot\omega_D^2\cdot3T^2\propto T^2$。
在二维晶格中，独立振动模式的数量与波矢空间中的波矢数量成正比。在波矢空间中，波矢的分布密度与波矢的大小成正比，即在k到k+dk之间的独立振动模式对应于平面中半径n到n+dn间圆环的面积$2\pi ndn$。由于晶格的面积为S，波矢空间的面积为$2\pi S$，因此在k到k+dk之间的独立振动模式数为$\dfrac{2\pi ndn}{2\pi S}=\dfrac{ndn}{S}$。
步骤 2：计算振动模式密度
在波矢空间中，波矢的分布密度与波矢的大小成正比，即$\rho(k)dk=\dfrac{ndn}{S}$。由于波矢k与频率$\omega$成正比，即$k=\dfrac{\omega}{v}$，因此振动模式密度为$\rho(\omega)d\omega=\dfrac{3S\omega}{2\pi v^2}d\omega$。
步骤 3：计算晶格的总能量
晶格的总能量为所有独立振动模式的能量之和，即$E=\int_0^{\omega_D}\dfrac{3S\omega}{2\pi v^2}d\omega\cdot\dfrac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_BT}-1}$，其中$\omega_D$为德拜频率。在低温极限下，$e^{\hbar\omega/k_BT}\gg1$，因此$E\approx\int_0^{\omega_D}\dfrac{3S\omega}{2\pi v^2}d\omega\cdot\hbar\omega\cdot\dfrac{k_BT}{\hbar\omega}=\dfrac{3S}{2\pi v^2}\cdot\dfrac{k_BT}{2}\cdot\omega_D^2$。
步骤 4：计算比热
比热为晶格的总能量对温度的导数，即$C=\dfrac{dE}{dT}=\dfrac{3S}{2\pi v^2}\cdot\dfrac{k_B}{2}\cdot\omega_D^2\cdot3T^2\propto T^2$。